Resolver um sistema de equações diferenciais:
\left\{\begin{array}{r}\dot{x}-5 x-3 y=0 \\\ \dot{y}+3 x+y=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de coeficientes constantes
\begin{cases} \dot{x}-5x-3y=0,\\\ \dot{y}+3x+y=0. \end{cases}
Isso é equivalente a escrever \mathbf{X}'=A\mathbf{X}, com \mathbf{X}=(x,y)^T. Vamos usar o método de autovalores e autovetores (forma de Jordan) para resolver.

Passo 2

Montamos a matriz
A = \begin{pmatrix} 5 & 3\\\\ -3 & -1 \end{pmatrix}
e calculamos o polinômio característico
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}5-\lambda & 3\\\ -3 & -1-\lambda\end{pmatrix} =(5-\lambda)(-1-\lambda)+9 =\lambda^2-4\lambda+4 =(\lambda-2)^2.
Logo, há autovalor único \lambda=2 de multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Encontramos o autovetor \mathbf{v} resolvendo (A-2I)\mathbf{v}=0, ou seja
\begin{pmatrix}3 & 3\\\ -3 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} =0 \quad\Longrightarrow\quad v_1+v_2=0.
Uma escolha conveniente é \mathbf{v}=(1,-1)^T.

Passo 4

Como a multiplicidade geométrica é 1, precisamos de um vetor generalizado \mathbf{w} tal que
(A-2I)\mathbf{w}=\mathbf{v}.
Escrevendo \mathbf{w}=(w_1,w_2)^T, temos
\begin{pmatrix}3 & 3\\\ -3 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}w_1\w_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad 3(w_1+w_2)=1.
Bastando w_1+w_2=\tfrac13, escolhemos por simplicidade \mathbf{w}=(\tfrac13,0)^T.

Passo 5

Da teoria de sistemas com bloco de Jordan, uma base fundamental de soluções é
\mathbf{X}_1(t)=\mathbf{v}\,e^{2t},\qquad \mathbf{X}_2(t)=(\mathbf{v}\,t+\mathbf{w})\,e^{2t}.
Escrevendo \mathbf{X}=(x,y)^T e combinando com constantes C_1,C_2, obtemos
\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix} =C_1\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}e^{2t} +C_2\begin{pmatrix}t+\tfrac13\\\ -t\end{pmatrix}e^{2t}.

Resposta

x(t)= \bigl(C_1 + C_2\,(t+\tfrac13)\bigr)e^{2t}
y(t)= \bigl(-C_1 - C_2\,t\bigr)e^{2t}
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

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