Resolver um sistema de equações diferenciais:
\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=x-y, \\\ \dot{y}=y-4 x .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes \dot{x}=x-y \dot{y}=y-4x.
O conteúdo é diagonalização de matriz ou método de autovalores e autovetores para sistemas lineares.

Passo 2

Escrevemos em forma matricial
\begin{pmatrix}\dot{x}\\dot{y}\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
onde
A = \begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ -4 & 1\end{pmatrix}.
Para encontrar a solução geral, precisamos achar os autovalores de A resolvendo \det(A - \lambda I)=0.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & -1 \\\\ -4 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)^2 - 4 = 0.
Daí (1-\lambda)^2=4 leva a \lambda_1 = 3 e \lambda_2 = -1.

Passo 4

Para cada autovalor resolvemos (A - \lambda I)v=0:
Para \lambda_1=3:
(A-3I)v = \begin{pmatrix}-2 & -1 \\\\ -4 & -2\end{pmatrix}v=0
-2v_1 - v_2=0, logo v^{(1)}=(1,-2).
Para \lambda_2=-1:
(A+I)v = \begin{pmatrix}2 & -1 \\\\ -4 & 2\end{pmatrix}v=0
2v_1 - v_2=0, logo v^{(2)}=(1,2).

Passo 5

A solução geral é combinação linear das soluções fundamentais:
\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix} = C_1\,v^{(1)}e^{3t} + C_2\,v^{(2)}e^{-t}.
Expandindo em componentes:
x(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t},\quad y(t) = -2C_1 e^{3t} + 2C_2 e^{-t}.

Resposta

x(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t},\quad y(t) = -2C_1 e^{3t} + 2C_2 e^{-t}.

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