Resolver o sistema:
\left\{\begin{array}{l} x+y=a \\\ x y=b^{2} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de duas equações com duas incógnitas x e y e com parâmetros a e b:
\left\{\begin{array}{l} x+y=a \\\ x y=b^{2} \end{array}\right.
O que devemos encontrar é x e y expressos em função de a e b. Informações relevantes que temos:
  • As incógnitas são x e y.
  • Os parâmetros a e b são dados (podem ser números reais ou complexos, o enunciado não restringe).
  • A segunda equação envolve b^{2}, ou seja, o sistema depende de b só através de b^{2}.

Passo 2

Vamos eliminar uma variável para obter uma equação em uma incógnita só. Da primeira equação isolamos y:
y=a-x.
Substituímos esse y na segunda equação x y=b^{2}:
x(a-x)=b^{2}.
Agora desenvolvemos e colocamos em forma padrão de um polinômio de segundo grau:
-a x + x^{2}=b^{2}
x^{2}-a x - b^{2}=0.
(Observação: perceba que trocar de sinal enquanto organiza é só álgebra; aqui deixamos o termo quadrático positivo.)

Passo 3

Há um detalhe: na etapa anterior obtenho x^{2}-a x - b^{2}=0. Refaço com atenção porque a forma mais direta normalmente esperada é x^{2}-a x + b^{2}=0. Vamos revisar a substituição com calma:
Partindo de y=a-x,
x y = x(a-x) = a x - x^{2}.
Igualando a b^{2}
a x - x^{2} = b^{2}.
Colocando tudo no lado esquerdo:
-x^{2} + a x - b^{2} = 0.
Multiplicando por -1 (operação válida) obtemos
x^{2} - a x + b^{2} = 0.
Portanto a equação quadrática correta para x é
\boxed{x^{2} - a x + b^{2} = 0.}

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática obtida. Vou mostrar como encontrar as raízes usando completar o quadrado (é a forma mais didática para entender a fórmula de Bhaskara).
Começamos com
x^{2} - a x + b^{2} = 0.
Isolamos os dois primeiros termos para completar o quadrado:
x^{2} - a x = -b^{2}.
Adicionamos e subtraímos \left(\dfrac{a}{2}\right)^{2} no lado esquerdo para formar um quadrado perfeito:
x^{2} - a x + \left(\dfrac{a}{2}\right)^{2} = -b^{2} + \left(\dfrac{a}{2}\right)^{2}.
O lado esquerdo é agora \left(x-\dfrac{a}{2}\right)^{2}, então
\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^{2} = \dfrac{a^{2}}{4} - b^{2}.
Extraindo a raiz quadrada (±), obtemos
x-\dfrac{a}{2} = \pm \dfrac{\sqrt{a^{2}-4b^{2}}}{2}.
Assim
x = \dfrac{a \pm \sqrt{a^{2}-4b^{2}}}{2}.

Passo 5

Tendo x, obtemos y pela relação y=a-x. Subtraindo a expressão de x de a:
y = a - x = a - \dfrac{a \pm \sqrt{a^{2}-4b^{2}}}{2} = \dfrac{a \mp \sqrt{a^{2}-4b^{2}}}{2}.
Note a simetria clássica: se x é a raiz com o sinal + então y é a com o sinal -, e vice-versa. Em outras palavras as duas soluções são permutações entre x e y.

Passo 6

Interpretação pelo discriminante. Definimos o discriminante
\Delta = a^{2}-4b^{2}.
  • Se \Delta>0, as duas soluções reais são distintas.
  • Se \Delta=0, há uma única solução real dupla x=y=\dfrac{a}{2}. Note que \Delta=0 ocorre quando |a|=2|b|.
  • Se \Delta<0, as soluções são complexas conjugadas: x e y têm parte real \dfrac{a}{2} e partes imaginárias opostas \pm \dfrac{\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}{2}i.
Também vale observar que o sistema depende de b apenas através de b^{2}: trocar b por -b não altera o sistema.

Resposta

(x,y)=\displaystyle\left(\dfrac{a+\sqrt{a^{2}-4b^{2}}}{2},\\ \dfrac{a-\sqrt{a^{2}-4b^{2}}}{2}\right)
(x,y)=\displaystyle\left(\dfrac{a-\sqrt{a^{2}-4b^{2}}}{2},\\ \dfrac{a+\sqrt{a^{2}-4b^{2}}}{2}\right)

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