Resolver o sistema:
Passo 1
O enunciado dá um sistema de duas equações com duas incógnitas
e
e com parâmetros
e
:
O que devemos encontrar é
e
expressos em função de
e
. Informações relevantes que temos:
- As incógnitas são
e . - Os parâmetros
e são dados (podem ser números reais ou complexos, o enunciado não restringe). - A segunda equação envolve
, ou seja, o sistema depende de só através de .
Passo 2
Vamos eliminar uma variável para obter uma equação em uma incógnita só. Da primeira equação isolamos
:
Substituímos esse
na segunda equação
:
Agora desenvolvemos e colocamos em forma padrão de um polinômio de segundo grau:
(Observação: perceba que trocar de sinal enquanto organiza é só álgebra; aqui deixamos o termo quadrático positivo.)
Passo 3
Há um detalhe: na etapa anterior obtenho
. Refaço com atenção porque a forma mais direta normalmente esperada é
. Vamos revisar a substituição com calma:
Partindo de
,
Igualando a
dá
Colocando tudo no lado esquerdo:
Multiplicando por
(operação válida) obtemos
Portanto a equação quadrática correta para
é
Passo 4
Agora resolvemos a equação quadrática obtida. Vou mostrar como encontrar as raízes usando completar o quadrado (é a forma mais didática para entender a fórmula de Bhaskara).
Começamos com
Isolamos os dois primeiros termos para completar o quadrado:
Adicionamos e subtraímos
no lado esquerdo para formar um quadrado perfeito:
O lado esquerdo é agora
, então
Extraindo a raiz quadrada (±), obtemos
Assim
Passo 5
Tendo
, obtemos
pela relação
. Subtraindo a expressão de
de
:
Note a simetria clássica: se
é a raiz com o sinal
então
é a com o sinal
, e vice-versa. Em outras palavras as duas soluções são permutações entre
e
.
Passo 6
Interpretação pelo discriminante. Definimos o discriminante
- Se
, as duas soluções reais são distintas. - Se
, há uma única solução real dupla . Note que ocorre quando . - Se
, as soluções são complexas conjugadas: e têm parte real e partes imaginárias opostas .
Também vale observar que o sistema depende de
apenas através de
: trocar
por
não altera o sistema.