Resolver os sistemas abaixo:
\left\{\begin{array}{l}x+y-z=0 \\\ x-y-2 z=1 \\\ x+2 y+z=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} x + y - z = 0,\\\ x - y - 2z = 1,\\\ x + 2y + z = 4. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares pelo método de eliminação de Gauss: vamos eliminar uma variável de duas equações para reduzir o sistema.

Passo 2

Eliminando x das segunda e terceira equações, subtraímos a primeira de cada uma:
(x - y - 2z) - (x + y - z) = 1 - 0 \quad\Longrightarrow\quad -2y - z = 1,
(x + 2y + z) - (x + y - z) = 4 - 0 \quad\Longrightarrow\quad y + 2z = 4.
Assim obtemos o sistema em y,z:
\begin{cases} -2y - z = 1,\\\ y + 2z = 4. \end{cases}

Passo 3

Para resolver esse sistema, multiplicamos a segunda equação por 2:
2y + 4z = 8.
Somando com a primeira:
(-2y - z) + (2y + 4z) = 1 + 8 \quad\Longrightarrow\quad 3z = 9 \quad\Longrightarrow\quad z = 3.
Agora substituímos z=3 em y + 2z = 4:
y + 2\cdot3 = 4 \quad\Longrightarrow\quad y = -2.

Passo 4

Tendo y=-2 e z=3, usamos a primeira equação x + y - z = 0:
x + (-2) - 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 5.

Resposta

x = 5,\quad y = -2,\quad z = 3.

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