Resolver os sistemas pela regra de Cramer:
\left\{\begin{array}{l}x+y+z+t=1 \\\\ -x+2 y+z=2 \\\\ 2 x-y-z-t=-1 \\\ x-3 y+z+2 t=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x+y+z+t=1,\\\\ -\,x+2y+z=2,\\\\ 2x-y-z-t=-1,\\\ x-3y+z+2t=0 \end{cases}
e pede para resolver pelo método de Cramer. Vamos montar a matriz dos coeficientes, calcular seu determinante D e depois os determinantes D_x,D_y,D_z,D_t obtidos trocando cada coluna pelos termos independentes. Por fim, teremos
x=\frac{D_x}{D},\quad y=\frac{D_y}{D},\quad z=\frac{D_z}{D},\quad t=\frac{D_t}{D}.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ -1 & 2 & 1 & 0\\\\ 2 & -1 & -1 & -1\\\\ 1 & -3 & 1 & 2 \end{pmatrix},
cujo determinante D=\det A podemos calcular expandindo pela 4ª coluna (entradas 1,0,-1,2):
D = \sum_{i=1}^{4}(-1)^{i+4}a_{i4}\det(M_{i4}).
Fazendo as três co-fatorizações não nulas obtém-se
D = 7 + 8 - 6 = 9.

Passo 3

Para D_x substituímos a 1ª coluna de A pelo vetor dos termos independentes (1,2,-1,0), obtendo
A_x=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 2 & 1 & 0\\\\ -1 & -1 & -1 & -1\\\\ 0 & -3 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Expandindo pela 1ª coluna (entradas 1,2,-1,0) e somando os cofatores dá
D_x = 3 + 0 - 3 = 0.

Passo 4

Para D_y trocamos a 2ª coluna por (1,2,-1,0):
A_y=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ -1 & 2 & 1 & 0\\\\ 2 & -1 & -1 & -1\\\\ 1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Expandindo pela 2ª coluna resulta
D_y = 4 - 6 + 2 = 0.

Passo 5

Para D_z trocamos a 3ª coluna por (1,2,-1,0):
A_z=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ -1 & 2 & 2 & 0\\\\ 2 & -1 & -1 & -1\\\\ 1 & -3 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Expandindo pela 3ª coluna obtemos
D_z = -5 + 30 - 7 = 18.

Passo 6

Para D_t trocamos a 4ª coluna por (1,2,-1,0):
A_t=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ -1 & 2 & 1 & 2\\\\ 2 & -1 & -1 & -1\\\\ 1 & -3 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Expandindo pela 4ª coluna dá
D_t = 7 - 24 + 8 = -9.

Passo 7

Aplicando Cramer:
x=\frac{D_x}{D}=\frac{0}{9}=0,\quad y=\frac{D_y}{D}=\frac{0}{9}=0,\quad z=\frac{D_z}{D}=\frac{18}{9}=2,\quad t=\frac{D_t}{D}=\frac{-9}{9}=-1.

Resposta

x=0,\;y=0,\;z=2,\;t=-1.

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