Resolver os sistemas abaixo:
\left\{\begin{array}{l}x+y+z=1 \\\\ -x-y+z=1 \\\\ 2 x+3 y+2 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema
\begin{cases} x + y + z = 1,\\\\ -\,x - y + z = 1,\\\\ 2x + 3y + 2z = 0. \end{cases}
Este é um sistema linear 3\times3. Para resolvê-lo, vamos usar o método de eliminação, somando e substituindo equações até encontrar x, y e z.

Passo 2

Somando a primeira e a segunda equação:
(x - x) + (y - y) + (z + z) = 1 + 1
ou seja,
2z = 2.
Logo,
z = 1.

Passo 3

Agora substituímos z = 1 na primeira e na terceira equações:
Primeira equação:
x + y + 1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad x + y = 0.
Terceira equação:
2x + 3y + 2\cdot1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 3y = -2.
Ficamos com o sistema
\begin{cases} x + y = 0,\\\\ 2x + 3y = -2. \end{cases}

Passo 4

Da primeira equação do novo sistema temos x = -y. Substituindo na segunda:
2(-y) + 3y = -2 \quad\Longrightarrow\quad -y = -2 \quad\Longrightarrow\quad y = -2.
Então x = -(-2) = 2. E já tínhamos z = 1.

Resposta

(x,y,z) = (2,\,-2,\,1)

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