(3 pontos) Uma EDO de ordem 1 é chamada exata quando pode ser escrita na forma
M(x, y)+N(x, y) \frac{d y}{d x}=0
e exite uma função \psi(x, y) tal que
\frac{\partial}{\partial x}(\psi(x, y))=M \quad \text { e } \quad \frac{\partial}{\partial y}(\psi(x, y))=N
(a) Quando a EDO é exata, podemos reescrevê-la como
\frac{d}{d x}(\psi(x, y))=0
A partir disso, qual o passo a passo para encontrar a solução geral?
(b) Um critério para decidir se uma EDO escrita como no ítem (a) é exata consiste em verificar se
\frac{\partial}{\partial x}(N(x, y))=\frac{\partial}{\partial y}(M(x, y)) .
Use esse critério para concluir que a EDO
2 x-3 y+(y-3 x) y^{\prime}=0
é exata e depois encontre a solução geral dessa EDO.
c) Encontre uma função \mu que torne a seguinte EDO exata
\left(3 x^{2} y+2 x y+y^{3}\right)+\left(x^{2}+y^{2}\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado faz três coisas e nos dá as seguintes informações:
  1. Pede que expliquemos, passo a passo, como obter a solução geral quando uma EDO de primeira ordem está na forma
M(x,y)+N(x,y)\frac{dy}{dx}=0
e se sabe que existe \psi(x,y) tal que \frac{\partial \psi}{\partial x}=M e \frac{\partial \psi}{\partial y}=N. A pergunta (a) quer o procedimento para encontrar a solução geral a partir disso.
  1. A pergunta (b) dá um critério de exatidão
\frac{\partial}{\partial x}\big(N(x,y)\big)=\frac{\partial}{\partial y}\big(M(x,y)\big)
e pede que apliquemos esse critério ao seguinte EDO:
2x-3y+(y-3x)y'=0,
mostrando que é exata e então encontrando a solução geral.
  1. A pergunta (c) dá a EDO
\big(3x^{2}y+2xy+y^{3}\big)+\big(x^{2}+y^{2}\big)y'=0
e pede que encontremos uma função \mu (uma fator integrante) que torne essa EDO exata.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • Para cada item usaremos a identificação padrão M(x,y) como o coeficiente sem y' e N(x,y) como o coeficiente multiplicando y'.
  • No item (b) e (c) precisaremos calcular derivadas parciais \partial M/\partial y e \partial N/\partial x.
  • Não há informação adicional como condições iniciais — procuraremos solução geral implícita \psi(x,y)=C.

Passo 2

(a) Procedimento passo a passo para resolver uma EDO exata. Vou explicar devagar para você poder replicar na prova.
  1. Identificação: Dada a EDO escrita como
M(x,y)+N(x,y)\frac{dy}{dx}=0,
identifique M(x,y) e N(x,y). Isso significa: o termo que multiplica dx (ou que fica sem y') é M e o coeficiente de y' é N.
  1. Intuição do que queremos: Se a equação é exata existe uma função \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y).
Então a EDO pode ser reescrita como
\frac{d}{dx}\big(\psi(x,y(x))\big)=0,
o que implica \psi(x,y)=C (constante).
  1. Como achar \psi: existem duas maneiras equivalentes; eu explico a mais direta:
  • Integre M(x,y) em relação a x, tratando y como constante:
\psi(x,y)=\int M(x,y)\,dx + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y (porque ao integrar em x perdemos informação sobre dependência só em y).
  1. Determinar h(y): compute a derivada parcial dessa expressão em relação a y:
\frac{\partial \psi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\Big(\int M\,dx\Big) + h'(y).
Mas sabemos que \partial\psi/\partial y deve ser igual a N(x,y). Portanto
h'(y)=N(x,y)-\frac{\partial}{\partial y}\Big(\int M\,dx\Big).
Aqui o lado direito deve ser função só de y (se a equação é exata isso acontecerá). Integre h'(y) em y para obter h(y).
  1. Alternativa (opcional): em vez de integrar M em x, você pode integrar N em y e então encontrar uma função g(x) análoga. Ambos dão a mesma \psi até uma constante.
  2. Verificar e escrever solução: com \psi(x,y) encontrada, a solução geral implícita é
\psi(x,y)=C.
  1. Observações práticas para a prova:
  • Sempre cheque a exatidão (critério do item (b)) antes de tentar integrar.
  • Ao integrar, faça integrais termo a termo e mantenha a dependência em y quando integrar em x (e vice-versa).
  • Se durante a etapa de achar h'(y) aparecer dependência em x, isso indica que a equação não era exata (ou você cometeu erro de cálculo).

Passo 3

(b) Aplicando o critério de exatidão e resolvendo a EDO dada.
  1. Identificação de M e N. A equação é
2x-3y+(y-3x)y'=0.
Portanto
M(x,y)=2x-3y,\qquad N(x,y)=y-3x.
  1. Calcule as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(2x-3y\big)=-3,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(y-3x\big)=-3.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x},
a EDO é exata.
  1. Encontre \psi(x,y) integrando M em relação a x:
\psi(x,y)=\int (2x-3y)\,dx = x^{2}-3xy + h(y),
onde h(y) é função a determinar.
  1. Use a condição \partial\psi/\partial y = N. Calcule
\frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}-3xy + h(y)\big) = -3x + h'(y).
Igualando a N(x,y)=y-3x obtemos
-3x + h'(y) = y -3x \quad\Rightarrow\quad h'(y)=y.
  1. Integre h'(y) para achar h(y):
h(y)=\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2} + C_{0}.
Podemos absorver C_{0} na constante geral da solução, então tomamos h(y)=\tfrac{y^{2}}{2}.
  1. Assim
\psi(x,y)=x^{2}-3xy+\frac{y^{2}}{2}.
A solução geral implícita é
x^{2}-3xy+\frac{y^{2}}{2}=C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 4

(c) Encontrar um fator integrante \mu que torne exata a equação
\big(3x^{2}y+2xy+y^{3}\big)+\big(x^{2}+y^{2}\big)y'=0.
  1. Identificação:
M(x,y)=3x^{2}y+2xy+y^{3},\qquad N(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  1. Calcule \partial M/\partial y e \partial N/\partial x:
\frac{\partial M}{\partial y}=3x^{2}+2x+3y^{2},
\frac{\partial N}{\partial x}=2x.
Como não são iguais, a EDO não é exata na forma dada.
  1. Procuramos uma \mu que dependa apenas de x (ou apenas de y), pois isso é mais simples na prova. Lembre do critério prático:
  • Se \dfrac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N} é função somente de x, então existe \mu(x)=\exp\!\big(\int f(x)\,dx\big).
  • Se \dfrac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M} é função somente de y, então existe \mu(y)=\exp\!\big(\int g(y)\,dy\big).
  1. Calcule
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}=\frac{(3x^{2}+2x+3y^{2})-2x}{x^{2}+y^{2}}=\frac{3x^{2}+3y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=3.
Surpresa boa: isso é a constante 3, que depende somente de x (na verdade de nenhum dos dois), então cabe como função de x.
  1. Logo podemos tomar f(x)=3 e construir a fator integrante
\mu(x)=\exp\Big(\int 3\,dx\Big)=\exp(3x)=e^{3x}.
  1. Verificação rápida (opcional, mas bom para prova): multiplicando por \mu obtemos
\tilde M=e^{3x}(3x^{2}y+2xy+y^{3}),\qquad \tilde N=e^{3x}(x^{2}+y^{2}).
Então
\frac{\partial \tilde M}{\partial y}=e^{3x}(3x^{2}+2x+3y^{2}),
\frac{\partial \tilde N}{\partial x}=3e^{3x}(x^{2}+y^{2})+e^{3x}\cdot 2x = e^{3x}(3x^{2}+3y^{2}+2x),
que coincide com \partial \tilde M/\partial y, portanto com \mu(x)=e^{3x} a EDO fica exata.

Resposta

(a) Integrar M(x,y) em x como \psi(x,y)=\int M\,dx + h(y); igualar \partial\psi/\partial y a N(x,y) para obter h'(y); integrar h'(y) e escrever \psi(x,y)=C.\n
(b) x^{2}-3xy+\dfrac{y^{2}}{2}=C.\n
(c) \mu(x)=e^{3x}.

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