(3 pontos) Uma EDO de ordem 1 é chamada exata quando pode ser escrita na forma
e exite uma função
tal que
(a) Quando a EDO é exata, podemos reescrevê-la como
A partir disso, qual o passo a passo para encontrar a solução geral?
(b) Um critério para decidir se uma EDO escrita como no ítem (a) é exata consiste em verificar se
Use esse critério para concluir que a EDO
é exata e depois encontre a solução geral dessa EDO.
c) Encontre uma função
que torne a seguinte EDO exata
(b) Um critério para decidir se uma EDO escrita como no ítem (a) é exata consiste em verificar se
c) Encontre uma função
Passo 1
O enunciado faz três coisas e nos dá as seguintes informações:
- Pede que expliquemos, passo a passo, como obter a solução geral quando uma EDO de primeira ordem está na forma
e se sabe que existe
tal que
e
. A pergunta (a) quer o procedimento para encontrar a solução geral a partir disso.
- A pergunta (b) dá um critério de exatidão
e pede que apliquemos esse critério ao seguinte EDO:
mostrando que é exata e então encontrando a solução geral.
- A pergunta (c) dá a EDO
e pede que encontremos uma função
(uma fator integrante) que torne essa EDO exata.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- Para cada item usaremos a identificação padrão
como o coeficiente sem e como o coeficiente multiplicando . - No item (b) e (c) precisaremos calcular derivadas parciais
e . - Não há informação adicional como condições iniciais — procuraremos solução geral implícita
.
Passo 2
(a) Procedimento passo a passo para resolver uma EDO exata. Vou explicar devagar para você poder replicar na prova.
- Identificação: Dada a EDO escrita como
identifique
e
. Isso significa: o termo que multiplica
(ou que fica sem
) é
e o coeficiente de
é
.
- Intuição do que queremos: Se a equação é exata existe uma função
tal que
Então a EDO pode ser reescrita como
o que implica
(constante).
- Como achar
: existem duas maneiras equivalentes; eu explico a mais direta:
- Integre
em relação a , tratando como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque ao integrar em
perdemos informação sobre dependência só em
).
- Determinar
: compute a derivada parcial dessa expressão em relação a :
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Portanto
Aqui o lado direito deve ser função só de
(se a equação é exata isso acontecerá). Integre
em
para obter
.
-
Alternativa (opcional): em vez de integrar
em , você pode integrar em e então encontrar uma função análoga. Ambos dão a mesma até uma constante. -
Verificar e escrever solução: com
encontrada, a solução geral implícita é
- Observações práticas para a prova:
- Sempre cheque a exatidão (critério do item (b)) antes de tentar integrar.
- Ao integrar, faça integrais termo a termo e mantenha a dependência em
quando integrar em (e vice-versa). - Se durante a etapa de achar
aparecer dependência em , isso indica que a equação não era exata (ou você cometeu erro de cálculo).
Passo 3
(b) Aplicando o critério de exatidão e resolvendo a EDO dada.
- Identificação de
e . A equação é
Portanto
- Calcule as derivadas parciais necessárias:
Como
a EDO é exata.
- Encontre
integrando em relação a :
onde
é função a determinar.
- Use a condição
. Calcule
Igualando a
obtemos
- Integre
para achar :
Podemos absorver
na constante geral da solução, então tomamos
.
- Assim
A solução geral implícita é
onde
é constante arbitrária.
Passo 4
(c) Encontrar um fator integrante
que torne exata a equação
- Identificação:
- Calcule
e :
Como não são iguais, a EDO não é exata na forma dada.
- Procuramos uma
que dependa apenas de (ou apenas de ), pois isso é mais simples na prova. Lembre do critério prático:
- Se
é função somente de , então existe . - Se
é função somente de , então existe .
- Calcule
Surpresa boa: isso é a constante
, que depende somente de
(na verdade de nenhum dos dois), então cabe como função de
.
- Logo podemos tomar
e construir a fator integrante
- Verificação rápida (opcional, mas bom para prova): multiplicando por
obtemos
Então
que coincide com
, portanto com
a EDO fica exata.
Resposta
(a) Integrar
em
como
; igualar
a
para obter
; integrar
e escrever
.\n
(b) .\n
(c) .
(b)
(c)