ou seja, encontrar a solução geral \mathbf{X}(t)=(x(t),y(t),z(t))^{T}.
d) Para o item (a): (i) mostrar que \Phi'(t)=A\Phi(t) para uma matriz fundamental \Phi(t) do sistema do item (a); (ii) determinar a matriz especial \psi(t) considerando \Phi(t). (Interpreto “matriz especial \psi(t)” como a inversa da matriz fundamental, \psi(t)=\Phi^{-1}(t), que é uma escolha habitual e útil.)
Dados relevantes:
As matrizes dos sistemas estão no enunciado.
São sistemas lineares homogêneos com coeficientes constantes.
No item (c), a matriz é triangular superior (os autovalores são os elementos da diagonal).
No item (a) a matriz tem autovalores complexos conjugados; no (b) autovalores reais distintos; no (c) autovalores possivelmente repetidos (1 com multiplicidade 2 e 2 simples).
A partir daqui começo a resolver passo a passo.]
Passo 2
Método geral que vou usar (sem detalhar teoria profunda ainda, só indicando a estratégia): para sistemas X'=AX com A constante usamos autovalores/autovetores quando for conveniente; se a matriz for triangular, podemos resolver por substituição direta (back substitution). No caso de autovalores complexos, construímos duas soluções reais a partir da parte real e imaginária de uma solução complexa. Vou aplicar esses métodos item por item.
Uma solução complexa é X_c(t)=e^{\lambda t}v=e^{(1+i\omega)t}v com \omega=\sqrt{2}. Escrevendo v=p+iq com p=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} e q=\begin{pmatrix}0\\[4pt]\omega\end{pmatrix}, e usando identidades de exponenciais complexas, as partes real e imaginária de X_c(t) são duas soluções reais independentes.
e^{(1+i\omega)t}v=e^{t}\big((\cos\omega t + i\sin\omega t)(p+iq)\big)
e separando real e imaginário e reorganizando obtemos as formas acima. Essas duas colunas são linearmente independentes, formando a base de soluções do sistema.]
Passo 5
A solução geral do sistema do item (a) é combinação linear das duas soluções reais obtidas:
Para matrizes triangulares superiores os autovalores são as entradas da diagonal: \lambda_1=1,\\ \lambda_2=1,\\ \lambda_3=2. Em vez de fazer autovetores e possíveis cadeias de Jordan, aqui é mais simples resolver sistema por substituição direta: escrevo \mathbf{X}=(x,y,z)^T e leio cada equação.
As equações são:
\begin{cases} x' = x - y + z,\\[4pt] y' = y + 3z,\\[4pt] z' = 2z. \end{cases}]
Passo 9
A equação de z é independente:
z' = 2z \Rightarrow z(t)=C_3 e^{2t},
com constante C_3.
Agora y satisfaz a equação linear não homogênea de primeira ordem
y' - y = 3z(t)=3C_3 e^{2t}.
Explico o método: para y'-y=f(t) o fator integrante é e^{-t}, pois (y e^{-t})' = (y' - y)e^{-t}. Multiplicando, integramos:
onde C_1,C_2,C_3 são constantes reais arbitrárias. Alternativamente, as três soluções fundamentais (colunas de uma matriz fundamental) podem ser escolhidas como:
Explicando: cada coluna é uma solução independente do sistema, logo a matriz cujas colunas são essas soluções é uma matriz fundamental. Agora mostro que \Phi'(t)=A\Phi(t). Como cada coluna X^{(j)}(t) satisfaz X^{(j)\prime}=AX^{(j)}, ao derivar coluna a coluna obtemos \Phi'(t)=A\Phi(t). Se quiser verificar usando cálculo, derive \Phi(t) elemento a elemento e compare com A\Phi(t); usando as identidades \omega^2=2, \frac{d}{dt}\cos(\omega t)=-\omega\sin(\omega t) e \frac{d}{dt}\sin(\omega t)=\omega\cos(\omega t) obtém-se igualdade em todas as entradas (fiz isso no rascunho para conferir; a verificação usa precisamente \omega^2=2).]
Passo 14
Agora calculo explicitamente \psi(t)=\Phi^{-1}(t). Observando que \Phi(t)=e^{t}M(t) onde
Comentário útil: \psi(t)=\Phi^{-1}(t) satisfaz a equação \psi'(t)=-\psi(t)A. Isso se obtém diferenciando \psi(t)\Phi(t)=I e isolando \psi': \psi'\Phi+\psi\Phi'=0\Rightarrow \psi'=-\psi A.]
Resposta
a) X(t)=C_1 e^{t}\begin{pmatrix}\cos(\sqrt{2}\,t)\\[6pt]-\sqrt{2}\,\sin(\sqrt{2}\,t)\end{pmatrix}+C_2 e^{t}\begin{pmatrix}\sin(\sqrt{2}\,t)\\[6pt]\sqrt{2}\,\cos(\sqrt{2}\,t)\end{pmatrix}.
b) X(t)=C_1 e^{3t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}+C_2 e^{-t}\begin{pmatrix}5\\[4pt]1\end{pmatrix}.
c) \displaystyle x(t)=C_1 e^{t} - C_2 t e^{t} - 2C_3 e^{2t},\quad y(t)=C_2 e^{t} + 3C_3 e^{2t},\quad z(t)=C_3 e^{2t}.