Resolver todas às questões.
O sistema a seguir esta bem ou mal condicionado?
Usando o método de Ruffini determinar:
P(x)=x^{3}+8 x^{2}+6 x+14 ; \text { achar } P(4)=

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas:
  1. O sistema a seguir está bem ou mal condicionado?
  2. Usando o método de Ruffini determinar P(4) para
P(x)=x^{3}+8x^{2}+6x+14.
Informações fornecidas no enunciado:
  • A única expressão explícita dada é o polinômio P(x)=x^{3}+8x^{2}+6x+14.
  • Não foi fornecido nenhum sistema linear (nenhuma matriz A nem vetor b).
Observação importante: para a primeira pergunta não há dados do “sistema a seguir” no enunciado que você mandou — ou seja, faltou mesmo o sistema. Portanto não posso avaliar sua condição sem essa informação.

Passo 2

Explicando o que significa “bem ou mal condicionado” (aula rápida e prática):
  • Em problemas com sistemas lineares normalmente pensamos em um sistema \;A x = b\;, onde A é a matriz dos coeficientes, x o vetor incógnita e b o vetor de termos independentes.
  • Intuitivamente, um sistema é bem condicionado se pequenas perturbações nos dados ( A ou b) produzem pequenas mudanças na solução x. É mal condicionado se pequenas perturbações causam grandes variações em x.
  • Uma forma matemática de quantificar isso é pelo número de condição da matriz A:
\mathrm{cond}(A)=\|A\|\;\|A^{-1}\|.
Valores grandes de \mathrm{cond}(A) indicam que A (e o sistema) é mal condicionado; valores próximos de 1 indicam bom condicionamento (isso depende da norma escolhida, mas a ideia é a mesma).
  • Sem a matriz A (ou sem o sistema), não há como calcular \mathrm{cond}(A) nem decidir se o sistema é bem ou mal condicionado. Portanto, reitero: não há como responder à primeira pergunta com os dados que você deu.

Passo 3

Agora vamos à segunda pergunta: usar o método de Ruffini para achar P(4). Primeiro a teoria curta e clara que você precisa saber para a prova:
  • Teorema do resto: se um polinômio P(x) é dividido por x-a, o resto dessa divisão é exatamente P(a). Ou seja, dividir por x-4 dá resto P(4). Isso é ótimo porque Ruffini nos dá esse resto de forma muito rápida.
  • Método de Ruffini (divisão sintética) serve para dividir um polinômio por um binómio da forma x-a. Você usa apenas os coeficientes do polinômio e o valor a.

Passo 4

Preparando os dados para Ruffini:
  • Coeficientes de P(x)=x^{3}+8x^{2}+6x+14 são, na ordem, \;1,\;8,\;6,\;14\;.
  • Queremos dividir por x-4, então o número que usamos na Ruffini é \;4\; (é o a tal que x-a é o divisor).
Vou fazer a tabela passo a passo (cada operação explicada):
  1. Escreve os coeficientes: \;1\quad 8\quad 6\quad 14\;.
  2. Abaixa o primeiro coeficiente \;1\; diretamente para a linha do quociente. Esse é o primeiro coeficiente do quociente.
  3. Multiplica esse número por \;4\;: \;1\cdot 4 = 4\;. Coloca esse 4 embaixo do próximo coeficiente (o 8).
  4. Soma na coluna: \;8 + 4 = 12\;. Esse \;12\; é o próximo número da linha do quociente.
  5. Multiplica \;12\cdot 4 = 48\;. Coloca esse 48 embaixo do próximo coeficiente (o 6).
  6. Soma: \;6 + 48 = 54\;. Esse \;54\; é o próximo coeficiente do quociente.
  7. Multiplica \;54\cdot 4 = 216\;. Coloca esse 216 embaixo do último coeficiente (o 14).
  8. Soma final: \;14 + 216 = 230\;. Esse último número é o resto da divisão por x-4, portanto é P(4).
Escrevendo a sequência numérica da operação (para visualizar):
  • Linha coeficientes: \;1\quad 8\quad 6\quad 14\;
  • Abaixando e calculando: \;1\; (abaixado)
  • Multiplica e soma: \;1\cdot4=4,\;8+4=12
  • Multiplica e soma: \;12\cdot4=48,\;6+48=54
  • Multiplica e soma: \;54\cdot4=216,\;14+216=230

Passo 5

Interpretação e checagem rápida (para você confiar no resultado na prova):
  • Pelo teorema do resto, o resto da divisão por x-4 é P(4). Encontramos resto 230. Logo P(4)=230.
  • Podemos conferir por substituição direta (opção lenta, mas serve como checagem):
P(4)=4^{3}+8\cdot 4^{2}+6\cdot 4+14=64+8\cdot 16+24+14=64+128+24+14=230.
Confere com o resultado da Ruffini.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (pra dar aquele empurrãozinho):
  • Use Ruffini sempre que tiver que avaliar P(a) e o polinômio for dividido por x-a: é bem mais rápido que calcular potências e somar, especialmente se os coeficientes são inteiros.
  • Pratique a tabela de Ruffini algumas vezes até pegar o ritmo (traz o primeiro coeficiente, multiplica pelo a, soma, repete).
  • Para decidir se um sistema é bem ou mal condicionado, exija a matriz A; pergunte ao enunciador (ou verifique no caderno) se o sistema foi omitido.

Resposta

Não há como determinar se o sistema está bem ou mal condicionado porque o sistema linear (matriz A e vetor b) não foi fornecido no enunciado.
P(4)=230

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