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O sistema a seguir esta bem ou mal condicionado?
\left[\begin{array}{l}6 x+4 y+z=5 \\\\ 3 x+6 y+2 z=7 \\\\ 2 x+9 y+z=8\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pergunta se o sistema linear abaixo está bem ou mal condicionado:
\begin{cases} 6x+4y+z=5\\[4pt] 3x+6y+2z=7\\[4pt] 2x+9y+z=8 \end{cases}
Informações dadas (explicitas):
A=\begin{pmatrix}6 & 4 & 1\\[4pt]3 & 6 & 2\\[4pt]2 & 9 & 1\end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}5\\[4pt]7\\[4pt]8\end{pmatrix}.
O que é pedido: decidir se o sistema (ou, equivalentemente, a matriz A) é bem condicionado ou mal condicionado.]

Passo 2

O que significa “bem” ou “mal” condicionado (aula rápida e amigável):
  • A condição de um sistema linear mede quanto um pequeno erro nos dados (coeficientes de A ou no vetor b) pode ampliar-se quando se calcula a solução x.
  • Para matrizes, usamos o número de condição
\kappa(A)=\|A\|\,\|A^{-1}\|,
que dá uma estimativa da amplificação relativa de erros (quanto maior \kappa(A), mais sensível o sistema).
  • Precisamos que A seja invertível para falar de \kappa(A).
  • Escolhemos a norma infinito para simplificar cálculos (é a norma que soma valores absolutos por linha e pega a maior soma). A norma infinito é
\|M\|_{\infty}=\max_{i}\sum_{j}|m_{ij}|.
Por que usei a norma infinito? Porque é simples de calcular à mão e dá uma medida válida da condição. Se \kappa_{\infty}(A) for moderado (por exemplo algumas dezenas) o sistema é razoavelmente bem condicionado; se for enorme (centenas, milhares, etc.) é mal condicionado.

Passo 3

Verificar invertibilidade calculando o determinante (passo necessário):
\det(A)=6\det\begin{pmatrix}6&2\\[4pt]9&1\end{pmatrix} -4\det\begin{pmatrix}3&2\\[4pt]2&1\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}3&6\\[4pt]2&9\end{pmatrix}.
Calcule cada menor:
\det\begin{pmatrix}6&2\\[4pt]9&1\end{pmatrix}=6\cdot1-2\cdot9=6-18=-12,
\det\begin{pmatrix}3&2\\[4pt]2&1\end{pmatrix}=3\cdot1-2\cdot2=3-4=-1,
\det\begin{pmatrix}3&6\\[4pt]2&9\end{pmatrix}=3\cdot9-6\cdot2=27-12=15.
Agora:
\det(A)=6\cdot(-12)-4\cdot(-1)+1\cdot15=-72+4+15=-53.
Como \det(A)=-53\neq0, a matriz A é inversível e \kappa(A) está bem definida.]

Passo 4

Calcular A^{-1} (vou usar eliminação de Gauss-Jordan, mostrando etapas principais). Começo com a matriz aumentada [A\mid I]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 6 & 4 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 6 & 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 9 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Fazer as operações (mostro cada operação e o resultado):
  1. R_2\leftarrow R_2-\tfrac{1}{2}R_1, R_3\leftarrow R_3-\tfrac{1}{3}R_1:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 6 & 4 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 4 & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} & 1 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{23}{3} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & 0 & 1 \end{array}\right]
  1. R_2\leftarrow \tfrac{1}{4}R_2 para pivotar:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 6 & 4 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{3}{8} & -\tfrac{1}{8} & \tfrac{1}{4} & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{23}{3} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & 0 & 1 \end{array}\right]
  1. Eliminar coluna 2 em R_1 e R_3: R_1\leftarrow R_1-4R_2, R_3\leftarrow R_3-\tfrac{23}{3}R_2:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 6 & 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2} & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{3}{8} & -\tfrac{1}{8} & \tfrac{1}{4} & 0\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{53}{24} & \tfrac{5}{8} & -\tfrac{23}{12} & 1 \end{array}\right]
  1. Tornar pivot de R_3 igual a 1: R_3\leftarrow R_3\cdot\left(-\tfrac{24}{53}\right):
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 6 & 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2} & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{3}{8} & -\tfrac{1}{8} & \tfrac{1}{4} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{15}{53} & \tfrac{46}{53} & -\tfrac{24}{53} \end{array}\right]
  1. Eliminar coluna 3 de R_1 e R_2: R_1\leftarrow R_1+\tfrac{1}{2}R_3, R_2\leftarrow R_2-\tfrac{3}{8}R_3:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 6 & 0 & 0 & \tfrac{72}{53} & -\tfrac{30}{53} & -\tfrac{12}{53}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{53} & -\tfrac{4}{53} & \tfrac{9}{53}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{15}{53} & \tfrac{46}{53} & -\tfrac{24}{53} \end{array}\right]
  1. Normalizar R_1: R_1\leftarrow \tfrac{1}{6}R_1:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{12}{53} & -\tfrac{5}{53} & -\tfrac{2}{53}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{53} & -\tfrac{4}{53} & \tfrac{9}{53}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{15}{53} & \tfrac{46}{53} & -\tfrac{24}{53} \end{array}\right]
Pronto: a parte direita é A^{-1}.]

Passo 5

Escrevendo o inverso encontrado:
A^{-1}=\frac{1}{53}\begin{pmatrix} 12 & -5 & -2\\[4pt] -1 & -4 & 9\\[4pt] -15 & 46 & -24 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular \|A\|_{\infty} e \|A^{-1}\|_{\infty}:
Linhas de A:
\text{linha 1: }6+4+1=11,\qquad \text{linha 2: }3+6+2=11,\qquad \text{linha 3: }2+9+1=12.
Logo
\|A\|_{\infty}=12.
Linhas de A^{-1} (valores absolutos):
\text{linha 1: }\frac{12+5+2}{53}=\frac{19}{53},
\text{linha 2: }\frac{1+4+9}{53}=\frac{14}{53},
\text{linha 3: }\frac{15+46+24}{53}=\frac{85}{53}.
Logo
\|A^{-1}\|_{\infty}=\frac{85}{53}.

Passo 7

Calcular o número de condição (norma infinito) e interpretar:
\kappa_{\infty}(A)=\|A\|_{\infty}\,\|A^{-1}\|_{\infty} =12\cdot\frac{85}{53}=\frac{1020}{53}\approx 19{,}245.
Interpretação prática: o número de condição indica que um erro relativo pequeno nos dados pode ser amplificado em até aproximadamente 19-vezes na solução. Isso não é um valor enorme — sistemas com \kappa na ordem de centenas ou milhares já são considerados mal condicionados. Portanto, com \kappa_{\infty}(A)\approx19{,}25 podemos dizer que o sistema é razoavelmente bem condicionado (não é numericamente instável).

Resposta

Bem condicionado. \kappa_{\infty}(A)=\dfrac{1020}{53}\approx19{,}25

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