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O sistema a seguir esta bem ou mal condicionado? \left[\begin{array}{l}6 x+4 y+z=5 \\\\ 3 x+6 y+2 z=7 \\\\ 2 x+9 y+z=8\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pergunta se o sistema linear abaixo está bem ou mal condicionado:
O que é pedido: decidir se o sistema (ou, equivalentemente, a matriz A) é bem condicionado ou mal condicionado.]
Passo 2
O que significa “bem” ou “mal” condicionado (aula rápida e amigável):
A condição de um sistema linear mede quanto um pequeno erro nos dados (coeficientes de A ou no vetor b) pode ampliar-se quando se calcula a solução x.
Para matrizes, usamos o número de condição
\kappa(A)=\|A\|\,\|A^{-1}\|,
que dá uma estimativa da amplificação relativa de erros (quanto maior \kappa(A), mais sensível o sistema).
Precisamos que A seja invertível para falar de \kappa(A).
Escolhemos a norma infinito para simplificar cálculos (é a norma que soma valores absolutos por linha e pega a maior soma). A norma infinito é
\|M\|_{\infty}=\max_{i}\sum_{j}|m_{ij}|.
Por que usei a norma infinito? Porque é simples de calcular à mão e dá uma medida válida da condição. Se \kappa_{\infty}(A) for moderado (por exemplo algumas dezenas) o sistema é razoavelmente bem condicionado; se for enorme (centenas, milhares, etc.) é mal condicionado.
Passo 3
Verificar invertibilidade calculando o determinante (passo necessário):
Interpretação prática: o número de condição indica que um erro relativo pequeno nos dados pode ser amplificado em até aproximadamente 19-vezes na solução. Isso não é um valor enorme — sistemas com \kappa na ordem de centenas ou milhares já são considerados mal condicionados. Portanto, com \kappa_{\infty}(A)\approx19{,}25 podemos dizer que o sistema é razoavelmente bem condicionado (não é numericamente instável).
Resposta
Bem condicionado. \kappa_{\infty}(A)=\dfrac{1020}{53}\approx19{,}25