Resolver todas às questões.
Resolver usando o método de Gauss.
\left[\begin{array}{r} x+6 y+2 z+4 w=19 \\\\ 3 x+19 y+4 z+15 w=53 \\\ x+4 y+8 z+12 w=17 \\\\ 5 x+33 y+9 z+3 w=119 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear com incógnitas x,y,z,w:
\begin{cases} x+6y+2z+4w=19,\\[4pt] 3x+19y+4z+15w=53,\\[4pt] x+4y+8z+12w=17,\\[4pt] 5x+33y+9z+3w=119. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas: são quatro equações lineares com quatro incógnitas. O usuário pediu explicitamente para usar o método de Gauss (eliminação de Gauss). Não há mais dados faltando.]

Passo 2

Rápida explicação do método que vamos usar (didática básica): a eliminação de Gauss transforma o sistema numa matriz aumentada e usa operações elementares sobre linhas para obter uma forma triangular (escalonada). As operações elementares permitidas são:
  1. Permutar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um escalar não nulo.
  3. Somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Chamamos “pivô” ao primeiro elemento não nulo de uma linha (usualmente o elemento que usamos para zerar abaixo dele). Depois de obter a forma triangular superior usamos substituição regressiva (back-substitution) para achar as incógnitas. Vou aplicar essas operações passo a passo e explicar cada cálculo.

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos independentes):
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 6 & 2 & 4 & 19\\[4pt] 3 & 19 & 4 & 15 & 53\\[4pt] 1 & 4 & 8 & 12 & 17\\[4pt] 5 & 33 & 9 & 3 & 119 \end{array}\right)]

Passo 4

Usamos 1 (primeiro elemento da primeira linha) como pivô para zerar os elementos abaixo na coluna de x.
Operações:
R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - 5R_1.
Cálculos linha a linha:
  • R_2: (3,19,4,15\mid53) - 3(1,6,2,4\mid19) = (0,1,-2,3\mid -4).
  • R_3: (1,4,8,12\mid17) - (1,6,2,4\mid19) = (0,-2,6,8\mid -2).
  • R_4: (5,33,9,3\mid119) - 5(1,6,2,4\mid19) = (0,3,-1,-17\mid24).
Matriz resultante:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 6 & 2 & 4 & 19\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 3 & -4\\[4pt] 0 & -2 & 6 & 8 & -2\\[4pt] 0 & 3 & -1 & -17 & 24 \end{array}\right)]

Passo 5

Agora usamos o pivô 1 da segunda linha (coluna de y) para zerar os elementos abaixo na coluna de y.
Operações:
R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - 3R_2.
Cálculos:
  • R_3: (0,-2,6,8\mid -2) + 2(0,1,-2,3\mid -4) = (0,0,2,14\mid -10).
  • R_4: (0,3,-1,-17\mid24) - 3(0,1,-2,3\mid -4) = (0,0,5,-26\mid36).
Matriz resultante:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 6 & 2 & 4 & 19\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 3 & -4\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 14 & -10\\[4pt] 0 & 0 & 5 & -26 & 36 \end{array}\right)]

Passo 6

Terceira etapa: escolhemos o pivô na terceira linha, coluna z. A terceira linha tem pivô 2. É conveniente primeiro tornar esse pivô igual a 1 dividindo a linha por 2, porque facilita os cálculos seguintes.
Operação:
R_3 \leftarrow \tfrac{1}{2} R_3.
Cálculo:
  • R_3: (0,0,2,14\mid -10) \div 2 = (0,0,1,7\mid -5).
Matriz:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 6 & 2 & 4 & 19\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 3 & -4\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 7 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 5 & -26 & 36 \end{array}\right)]

Passo 7

Usamos o pivô 1 em R_3 (coluna z) para zerar o elemento abaixo em R_4.
Operação:
R_4 \leftarrow R_4 - 5R_3.
Cálculo:
  • R_4: (0,0,5,-26\mid36) - 5(0,0,1,7\mid -5) = (0,0,0,-61\mid61).
Matriz:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 6 & 2 & 4 & 19\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 3 & -4\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 7 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -61 & 61 \end{array}\right)]

Passo 8

Quarta coluna: pivô em R_4 é -61. Dividimos R_4 por -61 para obter pivô 1 (isso vai nos dar imediatamente o valor de w na última linha quando a matriz estiver em forma escalonada reduzida).
Operação:
R_4 \leftarrow -\tfrac{1}{61} R_4.
Cálculo:
  • R_4: (0,0,0,-61\mid61) \div -61 = (0,0,0,1\mid -1).
Matriz:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 6 & 2 & 4 & 19\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 3 & -4\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 7 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right)
Observe que agora a matriz está em forma escalonada superior completa com pivôs 1 nas colunas principais. Próximo passo: zerar acima de cada pivô (redução para forma triangular superior reduzida) para facilitar a leitura das incógnitas.]

Passo 9

Eliminação para cima (back-substitution via operações sobre linhas): usar R_4 para zerar as entradas na coluna de w nas linhas 1,2,3; depois usar R_3 para zerar a coluna de z acima; e assim por diante.
Operações e cálculos:
  1. Zeramos w em R_3:
R_3 \leftarrow R_3 - 7R_4.
Cálculo: (0,0,1,7\mid -5) - 7(0,0,0,1\mid -1) = (0,0,1,0\mid -5 +7) = (0,0,1,0\mid 2).
  1. Zeramos w em R_2:
R_2 \leftarrow R_2 - 3R_4.
Cálculo: (0,1,-2,3\mid -4) - 3(0,0,0,1\mid -1) = (0,1,-2,0\mid -4 +3) = (0,1,-2,0\mid -1).
  1. Zeramos w em R_1:
R_1 \leftarrow R_1 - 4R_4.
Cálculo: (1,6,2,4\mid19) - 4(0,0,0,1\mid -1) = (1,6,2,0\mid19 +4) = (1,6,2,0\mid23).
Matriz intermediária:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 6 & 2 & 0 & 23\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right)]

Passo 10

Agora usamos R_3 (pivô em z) para zerar a coluna z acima.
Operação:
R_2 \leftarrow R_2 + 2R_3,\qquad R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3.
Cálculos:
  • R_2: (0,1,-2,0\mid -1) + 2(0,0,1,0\mid 2) = (0,1,0,0\mid -1 +4) = (0,1,0,0\mid 3).
  • R_1: (1,6,2,0\mid23) - 2(0,0,1,0\mid 2) = (1,6,0,0\mid 23 -4) = (1,6,0,0\mid 19).
Matriz:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 6 & 0 & 0 & 19\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right)]

Passo 11

Por fim usamos R_2 (pivô em y) para zerar o elemento acima em R_1.
Operação:
R_1 \leftarrow R_1 - 6R_2.
Cálculo:
  • R_1: (1,6,0,0\mid19) - 6(0,1,0,0\mid3) = (1,0,0,0\mid 19 -18) = (1,0,0,0\mid1).
Matriz na forma reduzida:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right)
A forma reduzida nos dá diretamente os valores das incógnitas na coluna dos termos independentes.]

Resposta

x=1
y=3
z=2
w=-1

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