A incógnita é a função y(x) e y^{\prime} significa \dfrac{dy}{dx}.
Devemos procurar todas as soluções reais (familiais e possíveis soluções singulares) compatíveis com a condição acima.
Passo 2
Vamos transformar a equação para uma forma separável. Uma transformação natural aqui é definir a razão
u(x)=\frac{y(x)}{x},
ou seja y=xu. Vou explicar por que essa escolha ajuda: a expressão x^{2}-y^{2} fica ligada a 1-u^{2} quando dividimos por x^{2}, e isso costuma simplificar raízes do tipo \sqrt{x^{2}-y^{2}}.
Primeiro calculemos y^{\prime} em função de u e u^{\prime}. Como y=xu(x),
y^{\prime}=\frac{d}{dx}(xu)=u + x\,u^{\prime},
porque se aplica a regra do produto (derivada de x é 1, derivada de u é u^{\prime}).
Passo 3
Substituímos y e y^{\prime} na equação original. Temos:
aqui usamos x\ge 0 ou consideramos o valor absoluto; trataremos isso ao integrar com \ln\lvert x\rvert. Substituindo:
x u + x^{2}u^{\prime}=x\sqrt{1-u^{2}}+x u.
Agora cancelamos x u dos dois lados (eles aparecem em ambos):
x^{2}u^{\prime}=x\sqrt{1-u^{2}}.
Dividindo por x (necessário x\neq 0; o caso x=0 não dá solução global além de pontos isolados), obtemos
x u^{\prime}=\sqrt{1-u^{2}}.
Passo 4
Agora a equação para u(x) é separável. Reescrevemos u^{\prime}=\dfrac{du}{dx} e separamos as variáveis:
\frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}}=\frac{dx}{x}.
Vou explicar a integral do lado esquerdo: a primitiva de \dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} é \arcsin(u), porque \dfrac{d}{du}\bigl(\arcsin(u)\bigr)=\dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} para |u|<1. Do lado direito a primitiva de \dfrac{1}{x} é \ln\lvert x\rvert.
Agora resolvemos para u. Aplicando o seno em ambos os lados (seno e arcseno são funções inversas no intervalo adequado):
u=\sin\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr).
Lembre que u=\dfrac{y}{x}, então voltando para y,
y(x)=x\,\sin\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr),
onde C\in\mathbb{R} é a constante arbitrária da família de soluções. Esta é a solução geral obtida a partir da separação, válida onde |u|<1 (ou seja, onde \bigl|\sin(\ln\lvert x\rvert + C)\bigr|<1 — o que ocorre para todos os x exceto pontos onde seno seria \pm 1, mas como função não constante isso normalmente não impede a validade local).
Passo 6
Devemos também verificar possíveis soluções singulares que perdi ao dividir por fatores que podem anular-se. Antes, ao passar de
x^{2}u^{\prime}=x\sqrt{1-u^{2}}
para
x u^{\prime}=\sqrt{1-u^{2}},
dividimos por x. Outro lugar crítico foi quando cancelei \cos implicitamente — de qualquer modo, procure constantes u que satisfaçam a equação original sem precisar da separação.
Se u é constante, u^{\prime}=0, então a equação x u^{\prime}=\sqrt{1-u^{2}} vira
0=\sqrt{1-u^{2}}.
Isto força 1-u^{2}=0, ou seja u=\pm 1. Essas correspondem a
y=\pm x.
São soluções candidatas; verifiquemos na equação original:
Para y=x: y^{\prime}=1 então x y^{\prime}=x. Do outro lado \sqrt{x^{2}-y^{2}}+y=\sqrt{0}+x=x. Igualdade satisfeita.
Para y=-x: y^{\prime}=-1 então x y^{\prime}=-x. Do outro lado \sqrt{x^{2}-y^{2}}+y=0-x=-x. Também satisfeita.
Portanto y=x e y=-x são soluções singulares (constantes u=\pm1) que não aparecem na forma y=x\sin(\ln\lvert x\rvert + C) como soluções identicamente constantes, porque aí o seno não pode ser constante \pm1 para todos x quando o argumento depende de \ln\lvert x\rvert.
Passo 7
Resumo das restrições e observações finais (úteis na prova):
válida para x\neq 0 e dentro da região onde a raiz é real (isto é, implicitamente |y|\le |x|, que é garantido por y/x=\sin(\cdot) já que |\sin|\le 1).
Existem as soluções singulares
y(x)=x\quad\text{e}\quad y(x)=-x,
que também satisfazem a equação original.
O ponto x=0 é um ponto singular do processo (dividimos por x); não faz sentido falar em solução definida por \ln\lvert x\rvert em x=0. Soluções podem ser estendidas por partes em (-\infty,0) e (0,\infty) usando \ln\lvert x\rvert.