Usando-se as propriedades dos limites, complete as tabelas a seguir:
SOMA
\lim f(x)=
k
k
k
+\infty
-\infty
+\infty
\lim g(x)=
t
+\infty
-\infty
+\infty
-\infty
-\infty
\lim [f(x)+g(x)]=
PRODUT0
\lim f(x)=
k
k>0
k>0
k<0
k<0
+\infty
+\infty
0
0
\lim g(x)=
t
+\infty
-\infty
+\infty
-\infty
+\infty
-\infty
+\infty
-\infty
\lim [f(x) \cdot g(x)]=
QUOCIENTE
\lim f(x)=
k
k>0
k>0
k<0
k<0
k
k
+\infty
+\infty
-\infty
-\infty
\lim g(x)=
t \neq 0
0^{+}
0^{-}
0^{+}
0^{-}
+\infty
-\infty
t>0
t<0
t>0
t<0
\lim \left\lceil\frac{f(x)}{g(x)}\right\rceil=
Passo 1
O enunciado pede para completar três tabelas usando propriedades de limites: SOMA, PRODUTO e QUOCIENTE. As informações fornecidas em cada coluna são os valores limites de f(x) e de g(x). O objetivo é preencher cada entrada \lim [f(x)+g(x)], \lim [f(x)\cdot g(x)] e \lim\!\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) nas colunas correspondentes.
Dados explícitos que vamos usar (cada par corresponde a uma coluna da tabela):
Para SOMA: \lim f(x)=k e \lim g(x)=t; \lim f(x)=k e \lim g(x)=+\infty; \lim f(x)=k e \lim g(x)=-\infty; \lim f(x)=+\infty e \lim g(x)=+\infty; \lim f(x)=-\infty e \lim g(x)=-\infty; \lim f(x)=+\infty e \lim g(x)=-\infty.
Para PRODUTO: pares indicados nas colunas (ex.: \lim f(x)=k, \lim g(x)=t; \lim f(x)=k>0, \lim g(x)=+\infty; etc.).
Para QUOCIENTE: pares indicados nas colunas (ex.: \lim f(x)=k, \lim g(x)=t\neq0; \lim f(x)=k>0, \lim g(x)=0^{+}; etc.).
O que cada tabela pede é determinar o limite do resultado (soma, produto, quociente) a partir das combinações dadas. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Regras básicas e intuição (mini-aula rápida, sem pular passos):
Se \lim f(x)=a e \lim g(x)=b com a e b finitos, então\lim [f(x)+g(x)] = a+b, \qquad \lim [f(x)\cdot g(x)] = a\cdot b, \qquad \lim\!\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{a}{b}\quad(b\neq0).Explicando: o limite “passa” por soma, produto e quociente quando todos os limites envolvidos são finitos e o denominador não se anula.
Se um limite é +\infty (cresce sem limite) e o outro é finito a, então somar dá +\infty e multiplicar por a\neq0 dá +\infty ou -\infty conforme o sinal de a. Raciocínio: adicionar um número fixo a algo que explode para +\infty não muda o fato de explodir.
Se aparece +\infty - \infty ou 0\cdot\infty ou \dfrac{\infty}{\infty} ou \dfrac{0}{0}, são formas indeterminadas: o limite depende da velocidade com que cada parte cresce/decresce e não pode ser decidido apenas pelos símbolos \infty e 0.
Para sinais: produto ou quociente envolvendo \infty segue o sinal multiplicativo (ex.: +\infty\cdot(-1)=-\infty; +\infty/(-2)=-\infty).
Agora aplico essas regras coluna a coluna.
Passo 3
Tabela SOMA — coluna a coluna e raciocínio:
\lim f(x)=k e \lim g(x)=t (ambos finitos) ⇒ \lim[f+g]=k+t (soma de limites finitos).
\lim f(x)=k e \lim g(x)=+\infty ⇒ k+{\color{black}(+\infty)}=+\infty (um adendo finito não muda o infinito positivo).
\lim f(x)=k e \lim g(x)=-\infty ⇒ k+(-\infty)=-\infty.
\lim f(x)=+\infty e \lim g(x)=+\infty ⇒ +\infty++\infty=+\infty.
\lim f(x)=-\infty e \lim g(x)=-\infty ⇒ -\infty+(-\infty)=-\infty.
\lim f(x)=+\infty e \lim g(x)=-\infty ⇒ +\infty+(-\infty) é uma forma indeterminada (não se pode concluir só com os símbolos); escreveremos “indeterminado” (tipo +\infty - \infty).
Passo 4
Tabela PRODUTO — coluna a coluna e raciocínio:
\lim f(x)=k e \lim g(x)=t (ambos finitos) ⇒ \lim(fg)=k\cdot t.
\lim f(x)=k>0 e \lim g(x)=+\infty ⇒ produto é +\infty (positivo finito × +\infty = +\infty).
\lim f(x)=k>0 e \lim g(x)=-\infty ⇒ produto é -\infty.
\lim f(x)=k<0 e \lim g(x)=+\infty ⇒ produto é -\infty.
\lim f(x)=k<0 e \lim g(x)=-\infty ⇒ produto é +\infty.
\lim f(x)=+\infty e \lim g(x)=+\infty ⇒ +\infty\cdot+\infty=+\infty.
\lim f(x)=+\infty e \lim g(x)=-\infty ⇒ +\infty\cdot(-\infty)=-\infty.
\lim f(x)=0 e \lim g(x)=+\infty ⇒ 0\cdot+\infty é forma indeterminada: pode dar 0, finito não nulo, ou \pm\infty dependendo das velocidades. Portanto indeterminado.
\lim f(x)=0 e \lim g(x)=-\infty ⇒ 0\cdot(-\infty) também indeterminado.
Passo 5
Tabela QUOCIENTE — coluna a coluna e raciocínio:
\lim f(x)=k e \lim g(x)=t\neq0 ⇒ \lim\!\left(\dfrac{f}{g}\right)=\dfrac{k}{t} (quociente de limites finitos, denominador não nulo).
\lim f(x)=k>0 e \lim g(x)=0^{+} ⇒ \dfrac{k}{0^{+}}=+\infty (positivo dividido por um número positivo que tende a zero dá +\infty).
\lim f(x)=k>0 e \lim g(x)=0^{-} ⇒ \dfrac{k}{0^{-}}=-\infty (positivo dividido por uma pequena quantidade negativa dá -\infty).
\lim f(x)=k<0 e \lim g(x)=0^{+} ⇒ \dfrac{k}{0^{+}}=-\infty.
\lim f(x)=k<0 e \lim g(x)=0^{-} ⇒ \dfrac{k}{0^{-}}=+\infty.
\lim f(x)=k e \lim g(x)=+\infty ⇒ \dfrac{k}{+\infty}=0 (fim: número finito dividido por algo que explode é 0).
\lim f(x)=k e \lim g(x)=-\infty ⇒ \dfrac{k}{-\infty}=0.
\lim f(x)=+\infty e \lim g(x)=t>0 ⇒ \dfrac{+\infty}{t}=+\infty.
\lim f(x)=+\infty e \lim g(x)=t<0 ⇒ \dfrac{+\infty}{\text{neg}}=-\infty.
\lim f(x)=-\infty e \lim g(x)=t>0 ⇒ \dfrac{-\infty}{\text{pos}}=-\infty.
\lim f(x)=-\infty e \lim g(x)=t<0 ⇒ \dfrac{-\infty}{\text{neg}}=+\infty.
Observação: formas indeterminadas típicas para quociente são \dfrac{\infty}{\infty} e \dfrac{0}{0}; se alguma dessas aparecesse seria necessário analisar a velocidade relativa (não é o caso nas colunas fornecidas).