Resolver
y^{\prime}=\left(x^{2}+y^{2}\right)(x y)^{-1} ;\quad y(1)=-2

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos. O problema é resolver a equação diferencial com condição inicial:
y'=\frac{x^{2}+y^{2}}{x y},\qquad y(1)=-2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação dada é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem para y(x).
  • A condição inicial é y(1)=-2.
  • Note que a expressão \dfrac{x^{2}+y^{2}}{x y} exige x\neq 0 e y\neq 0 no ponto onde a fórmula é usada (divisores não podem ser zero).

Passo 2

Simplificar a expressão do lado direito para enxergar a forma da equação. Escrevendo a fração em termos mais simples:
\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}=\frac{x^{2}}{x y}+\frac{y^{2}}{x y}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}.
Portanto a equação fica
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}.
Esta forma sugere tentar uma substituição que torne a equação em função de y/x (ou x/y). Vou apresentar a ideia didática dessa técnica: quando o lado direito de uma EDO primeira ordem pode ser escrito apenas em termos do quociente y/x (ou uma combinação que dependa homogeneamente de x e y), é natural usar a substituição u=\dfrac{y}{x}. Isso transforma a equação em uma equação para u(x), frequentemente separável.

Passo 3

Fazer a substituição u=\dfrac{y}{x}. Então y=u x. Derivando em relação a x usando a regra do produto:
\frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx}.
Agora substituir y= u x e \dfrac{dy}{dx} na equação original. Observe também que \dfrac{x}{y}=\dfrac{x}{u x}=\dfrac{1}{u} e \dfrac{y}{x}=u. Assim a EDO fica
u + x\frac{du}{dx}=\frac{1}{u}+u.

Passo 4

Simplificar a equação obtida e isolar a derivada de u. Subtraindo u de ambos os lados:
x\frac{du}{dx}=\frac{1}{u}.
Agora escrevemos como uma equação separável (todas as ocorrências de u de um lado e de x do outro). Multiplicando ambos os lados por u e dividindo por x:
u\,du=\frac{dx}{x}.
Explicando a ideia: separar as variáveis significa obter algo da forma g(u)\,du = h(x)\,dx e então integrar ambos os lados.

Passo 5

Integrar ambos os lados. Integramos \int u\,du e \int \dfrac{dx}{x}:
\int u\,du=\int \frac{dx}{x}
\frac{1}{2}u^{2}=\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração. Multiplicando por 2 e renomeando a constante (por exemplo C_{1}=2C), obtemos
u^{2}=2\ln|x|+C_{1}.

Passo 6

Voltar à variável original y. Lembrando que u=\dfrac{y}{x}, temos
\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=2\ln|x|+C_{1}.
Tomando raiz quadrada (existem as duas raízes, positiva e negativa),
\frac{y}{x}=\pm\sqrt{2\ln|x|+C_{1}}.
Multiplicando por x,
y=\pm x\sqrt{2\ln|x|+C_{1}}.
Agora aplicamos a condição inicial y(1)=-2 para determinar C_{1}. Substituindo x=1 e y(1)=-2:
-2=\pm 1\cdot\sqrt{2\ln|1|+C_{1}}=\pm\sqrt{C_{1}},
pois \ln|1|=0. Da última igualdade segue \sqrt{C_{1}}=2 e o sinal escolhido deve ser negativo para obter -2. Portanto
C_{1}=4
e o sinal é o negativo.

Passo 7

Escrever a solução explícita que satisfaz a condição inicial e discutir domínio. Substituindo C_{1}=4 e o sinal negativo:
y(x)=-\,x\sqrt{2\ln|x|+4}.
O domínio onde a expressão sob a raiz é não negativa é dado por
2\ln|x|+4\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad \ln|x|\ge -2 \quad\Longrightarrow\quad |x|\ge e^{-2}.
Além disso, a solução envolve divisão por y na equação original, então não podemos ter y=0; a forma encontrada com a raiz negativa garante y\le 0 onde a raiz é definida, então não há contradição com y\neq 0 no intervalo que contém x=1. Como a condição inicial está em x=1>0, tipicamente escolhe-se o ramo x>0, e assim o domínio relevante contendo x=1 é
x\ge e^{-2}.

Passo 8

Verificação rápida (sanidade): derivando implicitamente a solução obtida e substituindo na equação original daria a mesma identidade (pode-se verificar manualmente se quiser), e a condição inicial é satisfeita por construção. Também justificamos a escolha do sinal pela condição inicial negativa.

Resposta

y(x)=-\,x\sqrt{2\ln|x|+4}, com domínio contendo x=1 dado por x\ge e^{-2} (ou, em termos absolutos, |x|\ge e^{-2}).

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