Resolver
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos. O problema é resolver a equação diferencial com condição inicial:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação dada é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem para
. - A condição inicial é
. - Note que a expressão
exige e no ponto onde a fórmula é usada (divisores não podem ser zero).
Passo 2
Simplificar a expressão do lado direito para enxergar a forma da equação. Escrevendo a fração em termos mais simples:
Portanto a equação fica
Esta forma sugere tentar uma substituição que torne a equação em função de
(ou
). Vou apresentar a ideia didática dessa técnica: quando o lado direito de uma EDO primeira ordem pode ser escrito apenas em termos do quociente
(ou uma combinação que dependa homogeneamente de
e
), é natural usar a substituição
. Isso transforma a equação em uma equação para
, frequentemente separável.
Passo 3
Fazer a substituição
. Então
. Derivando em relação a
usando a regra do produto:
Agora substituir
e
na equação original. Observe também que
e
. Assim a EDO fica
Passo 4
Simplificar a equação obtida e isolar a derivada de
. Subtraindo
de ambos os lados:
Agora escrevemos como uma equação separável (todas as ocorrências de
de um lado e de
do outro). Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
:
Explicando a ideia: separar as variáveis significa obter algo da forma
e então integrar ambos os lados.
Passo 5
Integrar ambos os lados. Integramos
e
:
onde
é a constante de integração. Multiplicando por
e renomeando a constante (por exemplo
), obtemos
Passo 6
Voltar à variável original
. Lembrando que
, temos
Tomando raiz quadrada (existem as duas raízes, positiva e negativa),
Multiplicando por
,
Agora aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
:
pois
. Da última igualdade segue
e o sinal escolhido deve ser negativo para obter
. Portanto
e o sinal é o negativo.
Passo 7
Escrever a solução explícita que satisfaz a condição inicial e discutir domínio. Substituindo
e o sinal negativo:
O domínio onde a expressão sob a raiz é não negativa é dado por
Além disso, a solução envolve divisão por
na equação original, então não podemos ter
; a forma encontrada com a raiz negativa garante
onde a raiz é definida, então não há contradição com
no intervalo que contém
. Como a condição inicial está em
, tipicamente escolhe-se o ramo
, e assim o domínio relevante contendo
é
Passo 8
Verificação rápida (sanidade): derivando implicitamente a solução obtida e substituindo na equação original daria a mesma identidade (pode-se verificar manualmente se quiser), e a condição inicial é satisfeita por construção. Também justificamos a escolha do sinal pela condição inicial negativa.