Resolver
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial. Vou listar claramente o que é pedido e o que temos:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
O que se pede: encontrar a solução(ou uma forma implícita) da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.
Passo 2
Primeiro passo técnico: reescrever a equação na forma padrão
identificando
Agora vou testar se a equação é exata. Lembrete rápido (aula mini): uma equação é exata quando existe uma função
tal que
e
. Um teste prático é comparar
com
. Se forem iguais, é exata.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias (mostrando passo a passo):
Como
não é igual a
em geral, a equação NÃO é exata na forma dada.
Passo 4
Quando a equação não é exata, às vezes é possível encontrar um fator integrante
que torne a equação exata ao multiplicá-la por
. Há dois casos comuns:
ou
. Uma condição prática para procurar
é verificar se
é função apenas de
. Se for, então existe
satisfazendo
Vou calcular essa expressão explícita (mostrando cada passo).
Passo 5
Calcular a expressão indicada:
Simplificando um fator
no numerador:
Observando que
, substituo:
Importante: obtivemos
, que é função apenas de
. Portanto existe um fator integrante
.
Passo 6
Determinar
. Usando a relação
integro:
Logo, escolhendo a forma conveniente (e lembrando que a condição inicial tem
), posso tomar
Passo 7
Multiplico a equação original por
. Isso dá:
Simplificando cada termo:
Agora verifico exatidão: calcular as parciais
Como são iguais, a equação multiplicada por
é exata.
Passo 8
Resolver a equação exata encontrada. Existe
tal que
Integro em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma função de
a determinar. Agora uso a outra condição de exatidão:
deve ser igual a
. Calculo
Comparo com
. Igualando:
Integro
:
(A constante
é a constante arbitrária da primitiva; ela pode ser absorvida depois no lado direito da solução implícita.)
Passo 9
Portanto uma primitiva
é
A solução geral implícita da equação (após multiplicar pelo fator integrante) é
ou seja
onde
é constante. Agora aplico a condição inicial
para determinar
. Para
e
:
Assim
.