Resolver
\left(2 x y^{2}-3 y^{3}\right) d x+\left(7-3 x y^{2}\right) d y=0 ; y(0)=-7.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial. Vou listar claramente o que é pedido e o que temos:
  • Equação diferencial: \left(2 x y^{2}-3 y^{3}\right) d x+\left(7-3 x y^{2}\right) d y=0.
  • Condição inicial: y(0)=-7.
    O que se pede: encontrar a solução y(x) (ou uma forma implícita) da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.

Passo 2

Primeiro passo técnico: reescrever a equação na forma padrão
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,
identificando
M(x,y)=2x y^{2}-3y^{3},\qquad N(x,y)=7-3x y^{2}.
Agora vou testar se a equação é exata. Lembrete rápido (aula mini): uma equação é exata quando existe uma função \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x=M e \partial\Phi/\partial y=N. Um teste prático é comparar \partial M/\partial y com \partial N/\partial x. Se forem iguais, é exata.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias (mostrando passo a passo):
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(2x y^{2}-3y^{3}\big)=2x\cdot 2y -3\cdot 3y^{2}=4xy-9y^{2},
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(7-3x y^{2}\big)=-3y^{2}.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=4xy-9y^{2} não é igual a \dfrac{\partial N}{\partial x}=-3y^{2} em geral, a equação NÃO é exata na forma dada.

Passo 4

Quando a equação não é exata, às vezes é possível encontrar um fator integrante \mu que torne a equação exata ao multiplicá-la por \mu. Há dois casos comuns: \mu=\mu(x) ou \mu=\mu(y). Uma condição prática para procurar \mu(y) é verificar se
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}
é função apenas de y. Se for, então existe \mu(y) satisfazendo
\frac{d\ln\mu}{dy}=\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}.
Vou calcular essa expressão explícita (mostrando cada passo).

Passo 5

Calcular a expressão indicada:
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} =\frac{-3y^{2}-(4xy-9y^{2})}{2x y^{2}-3y^{3}} =\frac{-3y^{2}-4xy+9y^{2}}{y^{2}(2x-3y)} =\frac{6y^{2}-4xy}{y^{2}(2x-3y)}.
Simplificando um fator 2y no numerador:
\frac{6y^{2}-4xy}{y^{2}(2x-3y)}=\frac{2y(3y-2x)}{y^{2}(2x-3y)}.
Observando que 3y-2x=-(2x-3y), substituo:
\frac{2y(3y-2x)}{y^{2}(2x-3y)}=\frac{2y\big(- (2x-3y)\big)}{y^{2}(2x-3y)}=-\frac{2}{y}.
Importante: obtivemos -\dfrac{2}{y}, que é função apenas de y. Portanto existe um fator integrante \mu(y).

Passo 6

Determinar \mu(y). Usando a relação
\frac{d\ln\mu}{dy}=-\frac{2}{y},
integro:
\ln\mu=\int -\frac{2}{y}\,dy=-2\ln|y|=\ln|y|^{-2}.
Logo, escolhendo a forma conveniente (e lembrando que a condição inicial tem y=-7\neq0), posso tomar
\mu(y)=y^{-2}.

Passo 7

Multiplico a equação original por \mu(y)=y^{-2}. Isso dá:
\big(2x y^{2}-3y^{3}\big)y^{-2}\,dx+\big(7-3x y^{2}\big)y^{-2}\,dy=0.
Simplificando cada termo:
M^{*}(x,y)=2x-3y,\qquad N^{*}(x,y)=7y^{-2}-3x.
Agora verifico exatidão: calcular as parciais
\frac{\partial M^{*}}{\partial y}=-3,\qquad \frac{\partial N^{*}}{\partial x}=-3.
Como são iguais, a equação multiplicada por \mu(y) é exata.

Passo 8

Resolver a equação exata encontrada. Existe \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial\Phi}{\partial x}=M^{*}=2x-3y.
Integro em relação a x (tratando y como constante):
\Phi(x,y)=\int(2x-3y)\,dx=x^{2}-3xy+h(y),
onde h(y) é uma função de y a determinar. Agora uso a outra condição de exatidão: \partial\Phi/\partial y deve ser igual a N^{*}. Calculo
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=-3x+h'(y).
Comparo com N^{*}=7y^{-2}-3x. Igualando:
-3x+h'(y)=7y^{-2}-3x \quad\Rightarrow\quad h'(y)=7y^{-2}.
Integro h'(y):
h(y)=\int 7y^{-2}\,dy=7\int y^{-2}\,dy=7(-y^{-1})=-\frac{7}{y}+C_{0}.
(A constante C_{0} é a constante arbitrária da primitiva; ela pode ser absorvida depois no lado direito da solução implícita.)

Passo 9

Portanto uma primitiva \Phi(x,y) é
\Phi(x,y)=x^{2}-3xy-\frac{7}{y}.
A solução geral implícita da equação (após multiplicar pelo fator integrante) é
\Phi(x,y)=C,
ou seja
x^{2}-3xy-\frac{7}{y}=C,
onde C é constante. Agora aplico a condição inicial y(0)=-7 para determinar C. Para x=0 e y=-7:
\Phi(0,-7)=0-0-\frac{7}{-7}=1.
Assim C=1.

Resposta

x^{2}-3xy-\dfrac{7}{y}=1

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