Resolver
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condição inicial:
Informações dadas:
- A equação é do tipo envolvendo
e . - A condição inicial é
.
O objetivo é encontrar a funçãoque satisfaz a equação e a condição inicial.
Passo 2
Vamos reconhecer a forma da equação. Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
Comparando com a dada, identificamos
A técnica padrão é usar o fator integrante (integrating factor). Vou explicar isso devagarinho: o fator integrante é uma função
tal que, ao multiplicar a equação original por
, o lado esquerdo se torna a derivada do produto
. Depois basta integrar.
Passo 3
O fator integrante
é
Como a primitiva de
é
, obtemos
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Isso dá
Agora observamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Para ver isso aplicamos a regra do produto e a cadeia:
que coincide com o lado esquerdo acima.
Passo 5
Portanto podemos escrever a equação como
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora vamos calcular a integral do lado direito com calma.
Passo 6
Para calcular
usamos a substituição
Então a integral fica
Essa é uma integral que fazemos por partes. Escolhemos
e
. Então
e
. A fórmula de integração por partes
dá:
Passo 7
Voltando à variável
(substituindo
), obtemos
Logo da igualdade do Passo 5 segue
Dividindo por
obtemos a solução geral com constante:
Passo 8
Agora aplicamos a condição inicial
. Calculamos
e
. Substituindo em
com
:
Daí vem
.