Resolver
y^{\prime}+y \cos t=\operatorname{sen} t \cos t ;\quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condição inicial:
y'(t)+y(t)\cos t=\operatorname{sen}t\cos t,\qquad y(0)=1.
Informações dadas:
  • A equação é do tipo envolvendo y'(t) e y(t).
  • A condição inicial é y(0)=1.
    O objetivo é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação e a condição inicial.

Passo 2

Vamos reconhecer a forma da equação. Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
y'+p(t)\,y=q(t).
Comparando com a dada, identificamos
p(t)=\cos t,\qquad q(t)=\operatorname{sen}t\cos t.
A técnica padrão é usar o fator integrante (integrating factor). Vou explicar isso devagarinho: o fator integrante é uma função \mu(t) tal que, ao multiplicar a equação original por \mu(t), o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(t)y(t). Depois basta integrar.

Passo 3

O fator integrante \mu(t) é
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big)=\exp\!\Big(\int \cos t\,dt\Big).
Como a primitiva de \cos t é \sin t, obtemos
\mu(t)=e^{\sin t}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(t)=e^{\sin t}. Isso dá
e^{\sin t}y' + e^{\sin t}\cos t\;y = e^{\sin t}\operatorname{sen}t\cos t.
Agora observamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{\sin t}y. Para ver isso aplicamos a regra do produto e a cadeia:
\frac{d}{dt}\big(e^{\sin t}y\big) = e^{\sin t}\cdot(\cos t)\cdot y + e^{\sin t}\cdot y' ,
que coincide com o lado esquerdo acima.

Passo 5

Portanto podemos escrever a equação como
\frac{d}{dt}\big(e^{\sin t}y\big)=e^{\sin t}\operatorname{sen}t\cos t.
Integramos ambos os lados em relação a t:
e^{\sin t}y=\int e^{\sin t}\operatorname{sen}t\cos t\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Agora vamos calcular a integral do lado direito com calma.

Passo 6

Para calcular \displaystyle\int e^{\sin t}\operatorname{sen}t\cos t\,dt usamos a substituição
u=\sin t\quad\Rightarrow\quad du=\cos t\,dt.
Então a integral fica
\int e^{u}\,u\,du.
Essa é uma integral que fazemos por partes. Escolhemos U=u e dV=e^{u}du. Então dU=du e V=e^{u}. A fórmula de integração por partes \int U\,dV=UV-\int V\,dU dá:
\int u e^{u}\,du = u e^{u} - \int e^{u}\,du = u e^{u} - e^{u} + C = e^{u}(u-1)+C.

Passo 7

Voltando à variável t (substituindo u=\sin t), obtemos
\int e^{\sin t}\operatorname{sen}t\cos t\,dt = e^{\sin t}\big(\sin t -1\big) + C.
Logo da igualdade do Passo 5 segue
e^{\sin t}y = e^{\sin t}\big(\sin t -1\big) + C.
Dividindo por e^{\sin t} obtemos a solução geral com constante:
y(t)=\sin t -1 + C e^{-\sin t}.

Passo 8

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=1. Calculamos \sin 0=0 e e^{-\sin 0}=1. Substituindo em y(t) com t=0:
1 = y(0) = \sin 0 -1 + C e^{-\sin 0} = 0 -1 + C\cdot 1 = -1 + C.
Daí vem C=2.

Resposta

y(t)=\sin t -1 + 2e^{-\sin t}

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