Resolver
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações fornecidas que vamos usar diretamente:
- Definimos
. - Definimos
. - A tarefa é encontrar a solução geral implícita (uma relação entre
e com uma constante de integração).
Passo 2
Verificar se a equação é exata (isto é, se existe uma função potencial
tal que
e
).
Calculemos as derivadas parciais:
Aqui
e
são tratados como constantes ao derivar em relação a
. Então
Agora
Aqui
e
são constantes ao derivar em relação a
. Assim
Como
, a equação é exata numa região onde as funções são bem definidas. Isso garante a existência local de uma função potencial
tal que
e
.
Passo 3
Construir a função potencial
integrando
em relação a
(tratando
como constante):
Integrando termo a termo (lembrando que
e
são funções em que umas são constantes ou têm
):
-
porque é constante em . -
. -
(usar valor absoluto porque integral de é ).
Portanto, até uma função arbitrária de
(que aparece como constante de integração) temos:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Determinar
usando a condição
. Calcule
:
Isso deve ser igual a
. Igualando:
Cancelando os termos idênticos, obtemos
Passo 5
Integrar
para encontrar
:
onde
é constante. Podemos absorver
na constante final da solução implícita.
Substituindo
em
, obtemos a função potencial completa:
Passo 6
A solução geral da equação exata é dada por
constante. Assim:
ou, agrupando os logaritmos,
Observação sobre domínio: como aparecem
e
, a expressão só faz sentido para
e
; a constância
é uma constante arbitrária real.
Passo 7
Verificação rápida (opcional mas instrutiva): derivando a expressão implícita
obtemos
que coincide com a equação diferencial dada, confirmando que a solução está correta.