Resolver
\left(\operatorname{sen} y+y \operatorname{sen} x+x^{-1}\right) d x+\left(x \cos y-\cos x+y^{-1}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\left(\operatorname{sen} y+y \operatorname{sen} x+x^{-1}\right) dx+\left(x \cos y-\cos x+y^{-1}\right) dy=0.
Informações fornecidas que vamos usar diretamente:
  • Definimos M(x,y)=\operatorname{sen} y+y\operatorname{sen} x+x^{-1}.
  • Definimos N(x,y)=x\cos y-\cos x+y^{-1}.
  • A tarefa é encontrar a solução geral implícita (uma relação entre x e y com uma constante de integração).

Passo 2

Verificar se a equação é exata (isto é, se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x=M e \partial\Phi/\partial y=N).
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{d}{dy}\big(\operatorname{sen} y\big)+\frac{d}{dy}\big(y\operatorname{sen} x\big)+\frac{d}{dy}\big(x^{-1}\big).
Aqui \operatorname{sen} x e x^{-1} são tratados como constantes ao derivar em relação a y. Então
\frac{\partial M}{\partial y}=\cos y+\operatorname{sen} x+0=\cos y+\operatorname{sen} x.
Agora
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{d}{dx}\big(x\cos y\big)-\frac{d}{dx}\big(\cos x\big)+\frac{d}{dx}\big(y^{-1}\big).
Aqui \cos y e y^{-1} são constantes ao derivar em relação a x. Assim
\frac{\partial N}{\partial x}=\cos y+\operatorname{sen} x+0=\cos y+\operatorname{sen} x.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}, a equação é exata numa região onde as funções são bem definidas. Isso garante a existência local de uma função potencial \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x=M e \partial\Phi/\partial y=N.

Passo 3

Construir a função potencial \Phi(x,y) integrando M em relação a x (tratando y como constante):
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int\big(\operatorname{sen} y+y\operatorname{sen} x+x^{-1}\big)\,dx.
Integrando termo a termo (lembrando que \operatorname{sen} y e y\operatorname{sen} x são funções em que umas são constantes ou têm x):
  • \int \operatorname{sen} y\,dx = x\operatorname{sen} y porque \operatorname{sen} y é constante em x.
  • \int y\operatorname{sen} x\,dx = y\int \operatorname{sen} x\,dx = -y\cos x.
  • \int x^{-1}\,dx = \ln|x| (usar valor absoluto porque integral de 1/x é \ln|x|).
Portanto, até uma função arbitrária de y (que aparece como constante de integração) temos:
\Phi(x,y)=x\operatorname{sen} y - y\cos x + \ln|x| + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Determinar h(y) usando a condição \partial\Phi/\partial y=N. Calcule \partial\Phi/\partial y:
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=x\cos y - \cos x + \frac{d}{dy}h(y).
Isso deve ser igual a N(x,y)=x\cos y-\cos x+y^{-1}. Igualando:
x\cos y - \cos x + h'(y)=x\cos y - \cos x + y^{-1}.
Cancelando os termos idênticos, obtemos
h'(y)=y^{-1}.

Passo 5

Integrar h'(y)=y^{-1} para encontrar h(y):
h(y)=\int y^{-1}\,dy=\ln|y| + C_1,
onde C_1 é constante. Podemos absorver C_1 na constante final da solução implícita.
Substituindo h(y) em \Phi, obtemos a função potencial completa:
\Phi(x,y)=x\operatorname{sen} y - y\cos x + \ln|x| + \ln|y|.

Passo 6

A solução geral da equação exata é dada por \Phi(x,y)= constante. Assim:
x\operatorname{sen} y - y\cos x + \ln|x| + \ln|y| = C,
ou, agrupando os logaritmos,
x\operatorname{sen} y - y\cos x + \ln|xy| = C.
Observação sobre domínio: como aparecem \ln|x| e \ln|y|, a expressão só faz sentido para x\neq 0 e y\neq 0; a constância C é uma constante arbitrária real.

Passo 7

Verificação rápida (opcional mas instrutiva): derivando a expressão implícita \Phi(x,y)=C obtemos
d\Phi = \frac{\partial\Phi}{\partial x}dx+\frac{\partial\Phi}{\partial y}dy = \big(\operatorname{sen} y+y\operatorname{sen} x+x^{-1}\big)dx+\big(x\cos y-\cos x+y^{-1}\big)dy,
que coincide com a equação diferencial dada, confirmando que a solução está correta.

Resposta

x\operatorname{sen} y - y\cos x + \ln|xy| = C

Exercícios relacionados