A respeito da adição de dois números reais, assinale a opção correta.
(A) Se um dos números é irracional, então o resultado da soma é irracional.
(B) Se o resultado corresponde a um número positivo, então os números são não negativos.
(C) Se um dos números é uma dízima periódica, então o outro número ou o resultado é uma dízima periódica.
(D) Se o resultado corresponde a um número inteiro, então os dois números são inteiros.
(A) Se um dos números é irracional, então o resultado da soma é irracional.
(B) Se o resultado corresponde a um número positivo, então os números são não negativos.
(C) Se um dos números é uma dízima periódica, então o outro número ou o resultado é uma dízima periódica.
(D) Se o resultado corresponde a um número inteiro, então os dois números são inteiros.
Passo 1
O enunciado pede: a respeito da adição de dois números reais, assinale a opção correta entre (A), (B), (C) e (D). As opções são:
(A) Se um dos números é irracional, então o resultado da soma é irracional.
(B) Se o resultado corresponde a um número positivo, então os números são não negativos.
(C) Se um dos números é uma dízima periódica, então o outro número ou o resultado é uma dízima periódica.
(D) Se o resultado corresponde a um número inteiro, então os dois números são inteiros.
(B) Se o resultado corresponde a um número positivo, então os números são não negativos.
(C) Se um dos números é uma dízima periódica, então o outro número ou o resultado é uma dízima periódica.
(D) Se o resultado corresponde a um número inteiro, então os dois números são inteiros.
O que se pede é identificar qual dessas afirmações é sempre verdadeira para quaisquer dois números reais.
Passo 2
Primeiro, lembrar e entender bem algumas definições e propriedades básicas — isso ajuda a testar cada alternativa com segurança.
Definições e propriedades úteis:
- Um número é racional quando pode ser escrito como
com inteiros e . Em representação decimal, números racionais têm expansão finita ou periódica (dízima periódica). - Um número é irracional quando não é racional (ex.:
, ). - Propriedade 1: a soma de dois racionais é racional. Prova rápida: se
e então
que é racional.
- Propriedade 2: a soma de um racional com um irracional é irracional. Prova por contradição: se
é racional e irracional, se fosse racional , então seria diferença de racionais, logo racional — contradição. Portanto é irracional. - Propriedade 3: a soma de dois irracionais pode ser racional ou irracional. Exemplos serão dados adiante.
Com isso em mente, vamos checar cada alternativa com argumentos e contraexemplos.
Passo 3
Analisando (A): “Se um dos números é irracional, então o resultado da soma é irracional.”
Explicação: se um número for irracional e o outro for racional, a soma é irracional (pela Propriedade 2). Porém, se os dois números forem irracionais, a soma pode ser racional. Contraexemplo concreto:
- Tome
(irracional) e (também irracional). - Então
que é racional. Logo (A) é falsa porque existe pelo menos um caso em que um dos números é irracional e a soma não é irracional.
Passo 4
Analisando (B): “Se o resultado corresponde a um número positivo, então os números são não negativos.”
Explicação: a soma ser positiva não obriga que cada parcela seja não negativa — apenas que a soma dos valores seja maior que zero. Contraexemplo simples:
- Tome
e . - Então
que é positivo, mas
é negativo. Portanto (B) é falsa.
Comentário didático: na prova, lembrar que sinal da soma dá informação limitada: se ambos forem negativos então soma negativa; se soma positiva, pode ocorrer com um termo negativo desde que o outro compense.
Passo 5
Analisando (C): “Se um dos números é uma dízima periódica, então o outro número ou o resultado é uma dízima periódica.”
Primeiro, ligar conceito: “dízima periódica” significa número racional com representação decimal periódica. Então a afirmação diz: se um addendo é racional periódica, então ou o outro addendo é periódico ou a soma é periódico. Isso sugeriria que presença de um racional força periodicidade em pelo menos um dos outros dois (o outro addendo ou a soma). Mas isso é falso: um racional somado a um irracional produz um irracional, portanto nem o outro (irracional) nem a soma são dízimas periódicas. Contraexemplo:
- Tome
(dízima periódica, racional) e (irracional). - Então
não é dízima periódica e
é irracional (racional + irracional = irracional), logo também não é dízima periódica. Assim (C) é falsa.
Passo 6
Analisando (D): “Se o resultado corresponde a um número inteiro, então os dois números são inteiros.”
Explicação: a soma ser inteiro não exige que cada parcela seja inteiro. Contraexemplo clássico e elegante usando frações:
- Tome
e . - Então
que é inteiro, mas nenhum dos dois somandos é inteiro. Outro exemplo com decimais:
. Portanto (D) é falsa.
Observação didática: o que se pode afirmar é que se a soma é inteiro e um dos termos tem parte decimal
então o outro termo deve ter parte decimal
(ou complementar conforme caso), mas isso não implica que ambos sejam inteiros.
Passo 7
Síntese final: as quatro afirmações têm falhas demonstradas por contraexemplos. Portanto nenhuma delas é sempre verdadeira.
Resposta
Nenhuma das alternativas está correta.