A respeito da adição de dois números reais, assinale a opção correta.
(A) Se um dos números é irracional, então o resultado da soma é irracional.
(B) Se o resultado corresponde a um número positivo, então os números são não negativos.
(C) Se um dos números é uma dízima periódica, então o outro número ou o resultado é uma dízima periódica.
(D) Se o resultado corresponde a um número inteiro, então os dois números são inteiros.

Passo 1

O enunciado pede: a respeito da adição de dois números reais, assinale a opção correta entre (A), (B), (C) e (D). As opções são:
(A) Se um dos números é irracional, então o resultado da soma é irracional.
(B) Se o resultado corresponde a um número positivo, então os números são não negativos.
(C) Se um dos números é uma dízima periódica, então o outro número ou o resultado é uma dízima periódica.
(D) Se o resultado corresponde a um número inteiro, então os dois números são inteiros.
O que se pede é identificar qual dessas afirmações é sempre verdadeira para quaisquer dois números reais.

Passo 2

Primeiro, lembrar e entender bem algumas definições e propriedades básicas — isso ajuda a testar cada alternativa com segurança.
Definições e propriedades úteis:
  • Um número é racional quando pode ser escrito como \dfrac{p}{q} com inteiros p,q e q\neq0. Em representação decimal, números racionais têm expansão finita ou periódica (dízima periódica).
  • Um número é irracional quando não é racional (ex.: \sqrt{2}, \pi).
  • Propriedade 1: a soma de dois racionais é racional. Prova rápida: se r_1=\dfrac{a}{b} e r_2=\dfrac{c}{d} então
r_1+r_2=\frac{ad+bc}{bd},
que é racional.
  • Propriedade 2: a soma de um racional com um irracional é irracional. Prova por contradição: se q é racional e x irracional, se q+x fosse racional s, então x=s-q seria diferença de racionais, logo racional — contradição. Portanto q+x é irracional.
  • Propriedade 3: a soma de dois irracionais pode ser racional ou irracional. Exemplos serão dados adiante.
Com isso em mente, vamos checar cada alternativa com argumentos e contraexemplos.

Passo 3

Analisando (A): “Se um dos números é irracional, então o resultado da soma é irracional.”
Explicação: se um número for irracional e o outro for racional, a soma é irracional (pela Propriedade 2). Porém, se os dois números forem irracionais, a soma pode ser racional. Contraexemplo concreto:
  • Tome \,x=\sqrt{2} (irracional) e \,y=1-\sqrt{2} (também irracional).
  • Então
x+y=\sqrt{2}+(1-\sqrt{2})=1,
que é racional. Logo (A) é falsa porque existe pelo menos um caso em que um dos números é irracional e a soma não é irracional.

Passo 4

Analisando (B): “Se o resultado corresponde a um número positivo, então os números são não negativos.”
Explicação: a soma ser positiva não obriga que cada parcela seja não negativa — apenas que a soma dos valores seja maior que zero. Contraexemplo simples:
  • Tome \,x=5 e \,y=-1.
  • Então
x+y=5+(-1)=4,
que é positivo, mas y é negativo. Portanto (B) é falsa.
Comentário didático: na prova, lembrar que sinal da soma dá informação limitada: se ambos forem negativos então soma negativa; se soma positiva, pode ocorrer com um termo negativo desde que o outro compense.

Passo 5

Analisando (C): “Se um dos números é uma dízima periódica, então o outro número ou o resultado é uma dízima periódica.”
Primeiro, ligar conceito: “dízima periódica” significa número racional com representação decimal periódica. Então a afirmação diz: se um addendo é racional periódica, então ou o outro addendo é periódico ou a soma é periódico. Isso sugeriria que presença de um racional força periodicidade em pelo menos um dos outros dois (o outro addendo ou a soma). Mas isso é falso: um racional somado a um irracional produz um irracional, portanto nem o outro (irracional) nem a soma são dízimas periódicas. Contraexemplo:
  • Tome \,a=\dfrac{1}{3}=0,\overline{3} (dízima periódica, racional) e \,b=\sqrt{2} (irracional).
  • Então b não é dízima periódica e
a+b=\frac{1}{3}+\sqrt{2}
é irracional (racional + irracional = irracional), logo também não é dízima periódica. Assim (C) é falsa.

Passo 6

Analisando (D): “Se o resultado corresponde a um número inteiro, então os dois números são inteiros.”
Explicação: a soma ser inteiro não exige que cada parcela seja inteiro. Contraexemplo clássico e elegante usando frações:
  • Tome \,x=\dfrac{3}{2} e \,y=\dfrac{1}{2}.
  • Então
x+y=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2,
que é inteiro, mas nenhum dos dois somandos é inteiro. Outro exemplo com decimais: 1,5+0,5=2. Portanto (D) é falsa.
Observação didática: o que se pode afirmar é que se a soma é inteiro e um dos termos tem parte decimal d então o outro termo deve ter parte decimal 1-d (ou complementar conforme caso), mas isso não implica que ambos sejam inteiros.

Passo 7

Síntese final: as quatro afirmações têm falhas demonstradas por contraexemplos. Portanto nenhuma delas é sempre verdadeira.

Resposta

Nenhuma das alternativas está correta.

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