Considerando que
e
sejam funções reais, tais que
, e que a composição de
satisfaça
, assinale a opção que apresenta a expressão da função
.
A)
B)
C)
D)
A)
B)
C)
D)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi fornecido):
- A função
é definida por . - Existe uma função
tal que a composição satisfaz .
O que o enunciado pede:
- Determinar a expressão de
entre as alternativas listadas.
Informações relevantes a ter em mente (apenas listar, sem resolver ainda):
- A composição
significa . - A definição de logaritmo:
é equivalente a . - Deve-se verificar também a condição de domínio da função logaritmo: o argumento do logaritmo precisa ser positivo.
Passo 2
Explicar a composição e escrever a equação que temos que resolver de forma explícita.
- Como
, a igualdade dada é
- Substituindo a expressão de
, obtemos
Aqui foi usada a informação do enunciado
aplicando
.
Passo 3
Resolver a equação logarítmica transformando-a em forma exponencial — aqui dou uma aulinha curta sobre a regra usada.
- Regra: para
, , vale a equivalência
- Aplicando essa regra à equação
, obtemos
Passo 4
Isolar
e escrever a expressão encontrada.
- Subtraindo
dos dois lados,
Passo 5
Explicar e simplificar a potência
de forma que combine com as alternativas dadas.
- Podemos reescrever
usando a propriedade . Tomando , , , temos
- Assim a expressão fica
Passo 6
Verificar rapidamente a condição de domínio (para ganhar pontos na prova e evitar contradições).
- O argumento do logaritmo em
é . Para estar bem definida precisa-se de
- Substituindo a expressão encontrada,
. Como para todo , a condição é satisfeita para todo . Portanto a composição faz sentido para todos os reais.
Passo 7
Confrontar a expressão obtida com as alternativas do enunciado (vou listar cada alternativa com a notação dada).
- A)
- B)
- C)
- D)
A expressão que encontramos é
, que corresponde exatamente à alternativa C.
Resposta
C)