Considerando que f(x) e g(x) sejam funções reais, tais que f(x)=\log _{2}(x+4), e que a composição de f(x) \operatorname{com} g(x) satisfaça (f \circ g)(x)=4 x, assinale a opção que apresenta a expressão da função g(x).
A) g(x)=64 \cdot 2^{x}
B) g(x)=2 x+8
C) g(x)=16^{x}-4
D) g(x)=\frac{16^{x}}{4}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi fornecido):
  • A função f é definida por f(x)=\log_{2}(x+4).
  • Existe uma função g tal que a composição (f\circ g)(x) satisfaz (f\circ g)(x)=4x.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a expressão de g(x) entre as alternativas listadas.
Informações relevantes a ter em mente (apenas listar, sem resolver ainda):
  • A composição (f\circ g)(x) significa f(g(x)).
  • A definição de logaritmo: \log_{a} y=b é equivalente a y=a^{b}.
  • Deve-se verificar também a condição de domínio da função logaritmo: o argumento do logaritmo precisa ser positivo.

Passo 2

Explicar a composição e escrever a equação que temos que resolver de forma explícita.
  • Como (f\circ g)(x)=f(g(x)), a igualdade dada é
f(g(x))=4x.
  • Substituindo a expressão de f, obtemos
\log_{2}\bigl(g(x)+4\bigr)=4x.
Aqui foi usada a informação do enunciado f(t)=\log_{2}(t+4) aplicando t=g(x).

Passo 3

Resolver a equação logarítmica transformando-a em forma exponencial — aqui dou uma aulinha curta sobre a regra usada.
  • Regra: para a>0, a\neq1, vale a equivalência
\log_{a} y = b \quad\Longleftrightarrow\quad y = a^{b}.
  • Aplicando essa regra à equação \log_{2}\bigl(g(x)+4\bigr)=4x, obtemos
g(x)+4 = 2^{4x}.

Passo 4

Isolar g(x) e escrever a expressão encontrada.
  • Subtraindo 4 dos dois lados,
g(x)=2^{4x}-4.

Passo 5

Explicar e simplificar a potência 2^{4x} de forma que combine com as alternativas dadas.
  • Podemos reescrever 2^{4x} usando a propriedade a^{bc}=(a^{b})^{c}. Tomando a=2, b=4, c=x, temos
2^{4x}=(2^{4})^{x}=16^{x}.
  • Assim a expressão fica
g(x)=16^{x}-4.

Passo 6

Verificar rapidamente a condição de domínio (para ganhar pontos na prova e evitar contradições).
  • O argumento do logaritmo em f é g(x)+4. Para f(g(x)) estar bem definida precisa-se de
g(x)+4>0.
  • Substituindo a expressão encontrada, g(x)+4=16^{x}. Como 16^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, a condição é satisfeita para todo x. Portanto a composição faz sentido para todos os reais.

Passo 7

Confrontar a expressão obtida com as alternativas do enunciado (vou listar cada alternativa com a notação dada).
  • A) g(x)=64\cdot 2^{x}
  • B) g(x)=2x+8
  • C) g(x)=16^{x}-4
  • D) g(x)=\dfrac{16^{x}}{4}
A expressão que encontramos é g(x)=16^{x}-4, que corresponde exatamente à alternativa C.

Resposta

C) g(x)=16^{x}-4

Exercícios relacionados