- Com respeito a função
considere:
I. Sua derivada é
.
II. Ela troca de concavidade duas vezes, em
e
.
III. No intervalo
a concavidade é para cima.
IV. Seu gráfico está totalmente contido no semiplano
.
V. A função é decrescente no intervalo
.
Estão corretas:
Todas as afirmações.
Apenas III é falsa.
Apenas II, IV e V estão corretas.
Apenas III, IV e V estão corretas.
Apenas I e II estão corretas.
I. Sua derivada é
II. Ela troca de concavidade duas vezes, em
III. No intervalo
IV. Seu gráfico está totalmente contido no semiplano
V. A função é decrescente no intervalo
Passo 1
Temos a função
O enunciado apresenta cinco afirmações (I a V) sobre essa função e pede que escolhamos qual alternativa indica corretamente quais afirmações são verdadeiras. As afirmações são:
I. Sua derivada é .
II. Ela troca de concavidade duas vezes, em e
.
III. No intervalo a concavidade é para cima.
IV. Seu gráfico está totalmente contido no semiplano .
V. A função é decrescente no intervalo .
I. Sua derivada é
II. Ela troca de concavidade duas vezes, em
III. No intervalo
IV. Seu gráfico está totalmente contido no semiplano
V. A função é decrescente no intervalo
As alternativas oferecidas são: (a) Todas as afirmações; (b) Apenas III é falsa; (c) Apenas II, IV e V estão corretas; (d) Apenas III, IV e V estão corretas; (e) Apenas I e II estão corretas.
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada para verificar a afirmação I. Relembre a regra da cadeia: se temos
, então
. Aqui
. Calculando
temos
Aplicando a regra da cadeia:
Portanto a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada para estudar concavidade (afirmações II e III). Partimos de
. Usamos a regra do produto: se
e
, então
Calculamos as derivadas parciais:
. Para
usamos novamente a regra da cadeia: se
com
, então
. Substituindo:
Simplificando algebraicamente:
Passo 4
Para encontrar pontos de troca de concavidade (inflexão) resolvemos
. Como
para todo
(a exponencial nunca zera), a equação reduz-se a
Portanto existem zeros de
em
e
. Isso indica possíveis pontos de inflexão nesses
. Para confirmar que a concavidade muda nesses pontos, devemos verificar o sinal de
à esquerda e à direita.
Passo 5
Analisando o sinal de
:
- Para
temos e , logo . Isso significa concavidade para baixo no intervalo . - Para
temos e , logo . Isso significa concavidade para cima em e .
Dessa forma a função troca de concavidade em
e em
(afirmação II é verdadeira) e no intervalo
a concavidade é para baixo, não para cima — portanto a afirmação III é falsa.
Passo 6
Agora verificamos a afirmação IV sobre o semiplano
. A função é uma exponencial:
Para todo
temos
e
. Logo
para todo
. O gráfico está totalmente contido no semiplano
. Assim a afirmação IV é verdadeira.
Passo 7
Por fim verificamos a monotonicidade (afirmação V). Temos
. Como
para todo
, o sinal de
vem do fator
:
- Para
temos , logo : a função é estritamente decrescente em . - Em
temos . - Para
temos , logo : a função é crescente em .
No intervalo
a derivada é
e estritamente negativa para
, ou seja, a função é decrescente (no sentido usual: não crescente, e de fato estritamente decrescente para
). Portanto a afirmação V é verdadeira.
Passo 8
Resumo das conclusões:
- I é verdadeira.
- II é verdadeira.
- III é falsa.
- IV é verdadeira.
- V é verdadeira.
Assim exatamente a afirmação III é a única falsa.
Resposta
Apenas III é falsa.