• Com respeito a função
y=e^{\frac{-x^{2}}{2}}
considere:
I. Sua derivada é -x e^{\frac{-x^{2}}{2}}.
II. Ela troca de concavidade duas vezes, em x=1 e x=-1.
III. No intervalo [-1,1] a concavidade é para cima.
IV. Seu gráfico está totalmente contido no semiplano y>0.
V. A função é decrescente no intervalo [0,+\infty[.
Estão corretas:
\bigcirc Todas as afirmações.
\bigcirc Apenas III é falsa.
\bigcirc Apenas II, IV e V estão corretas.
\bigcirc Apenas III, IV e V estão corretas.
\bigcirc Apenas I e II estão corretas.

Passo 1

Temos a função
y=e^{\frac{-x^{2}}{2}}.
O enunciado apresenta cinco afirmações (I a V) sobre essa função e pede que escolhamos qual alternativa indica corretamente quais afirmações são verdadeiras. As afirmações são:
I. Sua derivada é -x e^{\frac{-x^{2}}{2}}.
II. Ela troca de concavidade duas vezes, em x=1 e x=-1.
III. No intervalo [-1,1] a concavidade é para cima.
IV. Seu gráfico está totalmente contido no semiplano y>0.
V. A função é decrescente no intervalo [0,+\infty[.
As alternativas oferecidas são: (a) Todas as afirmações; (b) Apenas III é falsa; (c) Apenas II, IV e V estão corretas; (d) Apenas III, IV e V estão corretas; (e) Apenas I e II estão corretas.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada para verificar a afirmação I. Relembre a regra da cadeia: se temos \,y=e^{u(x)}, então \,y'=u'(x)\,e^{u(x)}. Aqui u(x)=\frac{-x^{2}}{2}. Calculando u'(x) temos
u'(x)=\left(\frac{-x^{2}}{2}\right)' = -x.
Aplicando a regra da cadeia:
y' = u'(x)\,e^{u(x)} = -x\,e^{\frac{-x^{2}}{2}}.
Portanto a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada para estudar concavidade (afirmações II e III). Partimos de y' = -x\,e^{\frac{-x^{2}}{2}}. Usamos a regra do produto: se v(x)= -x e w(x)=e^{\frac{-x^{2}}{2}}, então
y'' = v'(x)w(x) + v(x)w'(x).
Calculamos as derivadas parciais: v'(x)=-1. Para w'(x) usamos novamente a regra da cadeia: se w(x)=e^{u(x)} com u(x)=\frac{-x^{2}}{2}, então w'(x)=u'(x)e^{u(x)} = -x\,e^{\frac{-x^{2}}{2}}. Substituindo:
y'' = (-1)\,e^{\frac{-x^{2}}{2}} + (-x)\left(-x\,e^{\frac{-x^{2}}{2}}\right).
Simplificando algebraicamente:
y'' = -e^{\frac{-x^{2}}{2}} + x^{2}e^{\frac{-x^{2}}{2}} = (x^{2}-1)\,e^{\frac{-x^{2}}{2}}.

Passo 4

Para encontrar pontos de troca de concavidade (inflexão) resolvemos y''=0. Como e^{\frac{-x^{2}}{2}}>0 para todo x (a exponencial nunca zera), a equação reduz-se a
x^{2}-1=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 1.
Portanto existem zeros de y'' em x=1 e x=-1. Isso indica possíveis pontos de inflexão nesses x. Para confirmar que a concavidade muda nesses pontos, devemos verificar o sinal de y'' à esquerda e à direita.

Passo 5

Analisando o sinal de y''=(x^{2}-1)\,e^{\frac{-x^{2}}{2}}:
  • Para |x|<1 temos x^{2}-1<0 e e^{\frac{-x^{2}}{2}}>0, logo y''<0. Isso significa concavidade para baixo no intervalo (-1,1).
  • Para |x|>1 temos x^{2}-1>0 e e^{\frac{-x^{2}}{2}}>0, logo y''>0. Isso significa concavidade para cima em (-\infty,-1) e (1,\infty).
Dessa forma a função troca de concavidade em x=-1 e em x=1 (afirmação II é verdadeira) e no intervalo [-1,1] a concavidade é para baixo, não para cima — portanto a afirmação III é falsa.

Passo 6

Agora verificamos a afirmação IV sobre o semiplano y>0. A função é uma exponencial:
y=e^{\frac{-x^{2}}{2}}.
Para todo x\in\mathbb{R} temos \frac{-x^{2}}{2}\in\mathbb{R} e e^{\text{(qualquer real)}}>0. Logo y>0 para todo x. O gráfico está totalmente contido no semiplano y>0. Assim a afirmação IV é verdadeira.

Passo 7

Por fim verificamos a monotonicidade (afirmação V). Temos y'=-x\,e^{\frac{-x^{2}}{2}}. Como e^{\frac{-x^{2}}{2}}>0 para todo x, o sinal de y' vem do fator -x:
  • Para x>0 temos -x<0, logo y'<0: a função é estritamente decrescente em (0,\infty).
  • Em x=0 temos y'(0)=0.
  • Para x<0 temos -x>0, logo y'>0: a função é crescente em (-\infty,0).
No intervalo [0,+\infty[ a derivada é \le 0 e estritamente negativa para x>0, ou seja, a função é decrescente (no sentido usual: não crescente, e de fato estritamente decrescente para x>0). Portanto a afirmação V é verdadeira.

Passo 8

Resumo das conclusões:
  • I é verdadeira.
  • II é verdadeira.
  • III é falsa.
  • IV é verdadeira.
  • V é verdadeira.
Assim exatamente a afirmação III é a única falsa.

Resposta

Apenas III é falsa.

Exercícios relacionados