Determine
e
, indicando o domínio e a imagem das mesmas.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as quatro composições
,
,
e
, e indicar, para cada uma, o domínio e a imagem. As funções dadas são:
Informações importantes fornecidas:
-
é a função raiz quadrada: domínio natural (pois a raiz quadrada exige argumento não negativo). -
é uma função racional: o denominador não pode ser zero, logo .
Passo 2
Analisar separadamente domínio e imagem de
e
(isso ajuda a montar domínios das composições).
-
Para
: - Domínio:
. - Imagem: como
toma todo valor não negativo quando varia em , a imagem é .
- Domínio:
-
Para
: - Domínio: todos os reais exceto onde o denominador zera, portanto
. - Para achar a imagem, resolve-se
em função de : Se obtém-se , ou equivalentemente , portanto para todo existe que produz esse . A equação não tem solução para (pois isso exigiria ). Logo a imagem de é .
- Domínio: todos os reais exceto onde o denominador zera, portanto
Passo 3
Calcular
e determinar domínio e imagem.
-
Expressão:
-
Domínio de
: tem que satisfazer duas coisas simultaneamente: -
deve estar no domínio de : . -
deve estar no domínio de , isto é : .
Resolver a desigualdade racional. Zeros/valores críticos: - Numerador zera em
. - Denominador zera (ponto proibido) em
.
Fazer tabela de sinais por intervalos:-
: numerador (negativo), denominador (negativo) ⇒ quociente positivo. -
: numerador , denominador ⇒ quociente negativo. -
: numerador , denominador ⇒ quociente positivo. - Em
o quociente é zero (permitido, pois ).
Portanto a solução deé Lembrando queé excluído por ser ponto fora do domínio de , então o domínio final de é -
-
Imagem de
: - Primeiro achar a imagem de
restrita ao domínio acima. Em analisamos : quando , por baixo ou por cima? Usando a forma , para tem-se (ligeiramente maior que 1). Quando , e , logo . Assim em o percorre . - Em
, com obtém-se . Para aumenta até aproximar 1 (quando tem ). Assim em o percorre . - Unindo: para
no domínio de , percorre .
Aplicandosobre esses valores, a imagem de é porqueocorreria apenas se , e não é atingido por . Logo imagem de é . - Primeiro achar a imagem de
Passo 4
Calcular
e determinar domínio e imagem.
-
Expressão:
-
Domínio:
deve estar no domínio de , que é . Além disso o denominador nunca é zero (porque implica ), então o domínio é simplesmente -
Imagem: definir
, com . Então a função torna-se Para, tem-se e assim . Logo Verificação por pontos:dá ; quando , . Portanto imagem de é .
Passo 5
Calcular
e determinar domínio e imagem.
- Expressão:
- Domínio: interno
exige , e para qualquer o valor pertence ao domínio de externo. Assim domínio é - Imagem:
para atinge todos os valores em . Portanto imagem é .
Passo 6
Calcular
e determinar domínio e imagem.
-
Expressão: começar por escrever
. Com , Simplificando numerador e denominador:Assim -
Domínio: é preciso que
esteja no domínio de (ou seja ) e que esteja no domínio de (ou seja ). Já se e somente se Portanto devem ser excluídose . Além disso, na forma final aparece denominador , que zera exatamente em , consistente com exclusão anterior. Logo o domínio de é -
Imagem: analisar a equação
. Resolver para : Seentão Isso mostra que para qualquercom existe um (único) que daria esse . Portanto não é atingido (é a assíntota horizontal). Contudo ainda precisamos verificar se algum valor cuja solução dada por é exatamente um dos pontos excluídos do domínio (ou seja ou ); nesses casos esse não seria atingido porque o único pré-imagem estaria excluída. - Para
substituindo em obtém-se A equação tem solução única (verificando ), portanto não é atingido porque o único que o produziria está fora do domínio. - Para
não há finito associado (denominador zero), então não produz nenhum valor finito a ser excluído além da já identificada condição de assíntota.
Conclusão:(assíntota horizontal) e (único valor gerado somente por , que está excluído) não são atingidos; todo outro é atingido por um único no domínio. Logo a imagem de é - Para