Determine f \circ g, g \circ f, f \circ f e g \circ g, indicando o domínio e a imagem das mesmas.
f(x)=\sqrt{x}, \quad g(x)=\frac{x+1}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar as quatro composições f\circ g, g\circ f, f\circ f e g\circ g, e indicar, para cada uma, o domínio e a imagem. As funções dadas são:
f(x)=\sqrt{x},\qquad g(x)=\frac{x+1}{x+2}.
Informações importantes fornecidas:
  • f é a função raiz quadrada: domínio natural \{x\mid x\ge 0\} (pois a raiz quadrada exige argumento não negativo).
  • g é uma função racional: o denominador x+2 não pode ser zero, logo x\neq -2.

Passo 2

Analisar separadamente domínio e imagem de f e g (isso ajuda a montar domínios das composições).
  • Para f(x)=\sqrt{x}:
    • Domínio: \{x\mid x\ge 0\}=[0,\infty).
    • Imagem: como \sqrt{x} toma todo valor não negativo quando x varia em [0,\infty), a imagem é [0,\infty).
  • Para g(x)=\dfrac{x+1}{x+2}:
    • Domínio: todos os reais exceto onde o denominador zera, portanto \mathbb{R}\setminus\{-2\}.
    • Para achar a imagem, resolve-se y=\dfrac{x+1}{x+2} em função de x: y=\frac{x+1}{x+2}\quad\Longrightarrow\quad y(x+2)=x+1\quad\Longrightarrow\quad x( y-1 ) = 1-2y.Se y\neq 1 obtém-se x=\dfrac{1-2y}{y-1}, ou equivalentemente x=-2+\dfrac{1}{1-y}, portanto para todo y\neq 1 existe x\neq -2 que produz esse y. A equação não tem solução para y=1 (pois isso exigiria 1=2). Logo a imagem de g é \mathbb{R}\setminus\{1\}.

Passo 3

Calcular f\circ g e determinar domínio e imagem.
  • Expressão:
    (f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=\sqrt{\frac{x+1}{x+2}}.
  • Domínio de f\circ g: tem que satisfazer duas coisas simultaneamente:
    1. x deve estar no domínio de g: x\neq -2.
    2. g(x) deve estar no domínio de f, isto é g(x)\ge 0: \dfrac{x+1}{x+2}\ge 0.
    Resolver a desigualdade racional \dfrac{x+1}{x+2}\ge 0. Zeros/valores críticos:
    • Numerador zera em x=-1.
    • Denominador zera (ponto proibido) em x=-2.
    Fazer tabela de sinais por intervalos:
    • x<-2: numerador x+1< -1 (negativo), denominador x+2<0 (negativo) ⇒ quociente positivo.
    • -2<x<-1: numerador <0, denominador >0 ⇒ quociente negativo.
    • x>-1: numerador >0, denominador >0 ⇒ quociente positivo.
    • Em x=-1 o quociente é zero (permitido, pois 0\ge0).
    Portanto a solução de \dfrac{x+1}{x+2}\ge0 é
    (-\infty,-2)\cup[-1,\infty).
    Lembrando que x=-2 é excluído por ser ponto fora do domínio de g, então o domínio final de f\circ g é
    (-\infty,-2)\cup[-1,\infty).
  • Imagem de f\circ g:
    • Primeiro achar a imagem de g restrita ao domínio acima. Em (-\infty,-2) analisamos y=g(x): quando x\to -\infty, g(x)\to 1 por baixo ou por cima? Usando a forma g(x)=1-\dfrac{1}{x+2}, para x\to -\infty tem-se g(x)\to 1^+ (ligeiramente maior que 1). Quando x\to -2^-, x+2\to 0^- e -\dfrac{1}{x+2}\to +\infty, logo g(x)\to +\infty. Assim em (-\infty,-2) o g(x) percorre (1,\infty).
    • Em [-1,\infty), com x=-1 obtém-se g(-1)=0. Para x>-1 aumenta g(x) até aproximar 1 (quando x\to\infty tem g(x)\to1^-). Assim em [-1,\infty) o g(x) percorre [0,1).
    • Unindo: para x no domínio de f\circ g, g(x) percorre [0,1)\cup(1,\infty)=[0,\infty)\setminus\{1\}.
    Aplicando f=\sqrt{\cdot} sobre esses valores, a imagem de f\circ g é
    \sqrt{[0,\infty)\setminus\{1\}}=[0,\infty)\setminus\{1\},
    porque \sqrt{y}=1 ocorreria apenas se y=1, e y=1 não é atingido por g. Logo imagem de f\circ g é [0,\infty)\setminus\{1\}.

Passo 4

Calcular g\circ f e determinar domínio e imagem.
  • Expressão:
    (g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=g\big(\sqrt{x}\big)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}.
  • Domínio: x deve estar no domínio de f, que é [0,\infty). Além disso o denominador \sqrt{x}+2 nunca é zero (porque \sqrt{x}\ge 0 implica \sqrt{x}+2\ge 2), então o domínio é simplesmente
    [0,\infty).
  • Imagem: definir t=\sqrt{x}, com t\in[0,\infty). Então a função torna-se
    y=\frac{t+1}{t+2}=1-\frac{1}{t+2}.
    Para t\in[0,\infty), tem-se t+2\in[2,\infty) e assim \dfrac{1}{t+2}\in(0,\tfrac12]. Logo
    y=1-\frac{1}{t+2}\in\big[1-\tfrac12,\,1\big)=[\tfrac12,1).
    Verificação por pontos: t=0 y=\tfrac12; quando t\to\infty, y\to 1^-. Portanto imagem de g\circ f é [\tfrac12,1).

Passo 5

Calcular f\circ f e determinar domínio e imagem.
  • Expressão: (f\circ f)(x)=f\big(f(x)\big)=\sqrt{\sqrt{x}}=x^{1/4}.
  • Domínio: interno f(x) exige x\ge 0, e para qualquer x\ge0 o valor \sqrt{x}\ge0 pertence ao domínio de f externo. Assim domínio é [0,\infty).
  • Imagem: x^{1/4} para x\in[0,\infty) atinge todos os valores em [0,\infty). Portanto imagem é [0,\infty).

Passo 6

Calcular g\circ g e determinar domínio e imagem.
  • Expressão: começar por escrever g(g(x)). Com g(x)=\dfrac{x+1}{x+2},
    (g\circ g)(x)=g\Big(\frac{x+1}{x+2}\Big)=\frac{\dfrac{x+1}{x+2}+1}{\dfrac{x+1}{x+2}+2}.
    Simplificando numerador e denominador:
    \frac{\dfrac{x+1+x+2}{x+2}}{\dfrac{x+1+2(x+2)}{x+2}} =\frac{2x+3}{3x+5}.
    Assim
    (g\circ g)(x)=\frac{2x+3}{3x+5}.
  • Domínio: é preciso que x esteja no domínio de g (ou seja x\neq -2) e que g(x) esteja no domínio de g (ou seja g(x)\neq -2). Já g(x)=-2 se e somente se
    \frac{x+1}{x+2}=-2\quad\Longrightarrow\quad x+1=-2x-4\quad\Longrightarrow\quad 3x=-5\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{5}{3}.
    Portanto devem ser excluídos x=-2 e x=-\tfrac{5}{3}. Além disso, na forma final \dfrac{2x+3}{3x+5} aparece denominador 3x+5, que zera exatamente em x=-\tfrac{5}{3}, consistente com exclusão anterior. Logo o domínio de g\circ g é
    \mathbb{R}\setminus\left\{-2,-\tfrac{5}{3}\right\}.
  • Imagem: analisar a equação y=\dfrac{2x+3}{3x+5}. Resolver para x:
    y(3x+5)=2x+3\quad\Longrightarrow\quad x(3y-2)=3-5y.
    Se 3y-2\neq 0 então
    x=\frac{3-5y}{3y-2}.
    Isso mostra que para qualquer y com 3y-2\neq 0 existe um x (único) que daria esse y. Portanto y=\tfrac{2}{3} não é atingido (é a assíntota horizontal). Contudo ainda precisamos verificar se algum valor y cuja solução x dada por \dfrac{3-5y}{3y-2} é exatamente um dos pontos excluídos do domínio (ou seja -2 ou -\tfrac{5}{3}); nesses casos esse y não seria atingido porque o único pré-imagem estaria excluída.
    • Para x=-2 substituindo em \dfrac{2x+3}{3x+5} obtém-se y=\frac{2(-2)+3}{3(-2)+5}=\frac{-4+3}{-6+5}=\frac{-1}{-1}=1.A equação y=1 tem solução única x=-2 (verificando 2x+3=3x+5\Rightarrow x=-2), portanto y=1 não é atingido porque o único x que o produziria está fora do domínio.
    • Para x=-\tfrac{5}{3} não há y finito associado (denominador zero), então não produz nenhum valor finito a ser excluído além da já identificada condição de assíntota.
    Conclusão: y=\tfrac{2}{3} (assíntota horizontal) e y=1 (único valor gerado somente por x=-2, que está excluído) não são atingidos; todo outro y\in\mathbb{R} é atingido por um único x no domínio. Logo a imagem de g\circ g é
    \mathbb{R}\setminus\left\{\tfrac{2}{3},\,1\right\}.

Resposta

(f\circ g)(x)=\sqrt{\dfrac{x+1}{x+2}},\quad \text{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-2)\cup[-1,\infty),\quad \text{Im}(f\circ g)=[0,\infty)\setminus\{1\}
(g\circ f)(x)=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2},\quad \text{Dom}(g\circ f)=[0,\infty),\quad \text{Im}(g\circ f)=[\tfrac12,1)
(f\circ f)(x)=\sqrt{\sqrt{x}}=x^{1/4},\quad \text{Dom}(f\circ f)=[0,\infty),\quad \text{Im}(f\circ f)=[0,\infty)
(g\circ g)(x)=\dfrac{2x+3}{3x+5},\quad \text{Dom}(g\circ g)=\mathbb{R}\setminus\{-2,-\tfrac{5}{3}\},\quad \text{Im}(g\circ g)=\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{2}{3},1\}

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