Com respeito à série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{-\sqrt{n}}}{2 \sqrt{n}} podemos dizer que:
(a) Esta série diverge para +\infty.
(b) Esta série diverge para -\infty.
(c) Esta série converge para um número real negativo.
(d) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(e) Esta série converge para zero.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-\sqrt{n}}}{2\sqrt{n}}
e pede que escolhamos qual das alternativas (a)–(e) é verdadeira. Informações relevantes que o enunciado dá:
  1. O termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{e^{-\sqrt{n}}}{2\sqrt{n}}.
  2. Para todo n\ge1 temos e^{-\sqrt{n}}>0 e \sqrt{n}>0, logo a_n>0 para todo n.
  3. As alternativas oferecem possibilidades de divergência para +\infty ou -\infty, convergência para número real negativo, convergência para zero, ou “nenhuma das outras alternativas”.
    A pergunta, portanto, é: a série converge ou diverge, e se converge, para que tipo de número (positivo, negativo ou zero)?

Passo 2

Vamos analisar convergência usando uma função contínua associada aos termos da série. Defina, para x\ge1,
f(x)=\frac{e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}.
Observações sobre f:
  • f(x)>0 para todo x\ge1 (porque exponencial positiva e raiz positiva).
  • Para aplicar o Teste da Integral precisamos que f seja (eventualmente) decrescente. Para ver isso é conveniente usar a mudança de variável u=\sqrt{x}. Escrevendo f em função de u obtemos
g(u)=f(u^2)=\frac{e^{-u}}{2u},\qquad u\ge1.
Agora calcule a derivada de g em relação a u:
g'(u)=\frac{d}{du}\left(\frac{e^{-u}}{2u}\right) =\frac{1}{2}\frac{d}{du}\big(e^{-u}u^{-1}\big) =\frac{1}{2}\Big(-e^{-u}u^{-1}-e^{-u}u^{-2}\Big) =-\frac{1}{2}e^{-u}\Big(\frac{1}{u}+\frac{1}{u^2}\Big).
Como u\ge1 implica \big(\tfrac{1}{u}+\tfrac{1}{u^2}\big)>0 e e^{-u}>0, segue que g'(u)<0 para u\ge1. Portanto g é decrescente em [1,\infty) e, como u=\sqrt{x} cresce com x, resulta que f(x) também é decrescente em [1,\infty). Assim f satisfaz as hipóteses do Teste da Integral (positiva, contínua e decrescente a partir de 1).

Passo 3

Apresento o Teste da Integral (explicando rápido como usá-lo): se f é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty), então a série \sum_{n=1}^\infty f(n) converge se, e somente se, a integral imprópria \displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge (é finita). Além disso há as desigualdades de comparação
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx \le \sum_{n=1}^{\infty} f(n) \le f(1) + \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx,
que nos dão uma estimativa numérica do somatório quando necessário.

Passo 4

Calcule a integral
\int_{1}^{\infty} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\,dx.
Use a substituição u=\sqrt{x}. Então x=u^2 e dx=2u\,du. Os limites: quando x=1 tem u=1; quando x\to\infty tem u\to\infty. Substituindo,
\int_{1}^{\infty} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\,dx =\int_{u=1}^{\infty} \frac{e^{-u}}{2u}\cdot(2u)\,du =\int_{1}^{\infty} e^{-u}\,du.
Agora essa integral é elementar:
\int_{1}^{\infty} e^{-u}\,du = \big[-e^{-u}\big]_{1}^{\infty} = 0 - (-e^{-1}) = e^{-1}.
Portanto a integral converge e vale \displaystyle e^{-1}.

Passo 5

Pelo Teste da Integral, como \displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx=e^{-1}<\infty, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-\sqrt{n}}}{2\sqrt{n}} converge. Usando as desigualdades do Passo 3 temos, numericamente,
e^{-1} \le \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-\sqrt{n}}}{2\sqrt{n}} \le \frac{e^{-1}}{2} + e^{-1} = \frac{3}{2}e^{-1}.
Como e^{-1}\approx 0,368, isso mostra que a soma converge para um número real finito e positivo (entre aproximadamente 0,368 e 0,552). Logo:
  • Não diverge para +\infty.
  • Não diverge para -\infty.
  • Não converge para um número real negativo.
  • Não converge para zero (a soma é positiva e distinta de zero).
    Portanto nenhuma das alternativas (a), (b), (c) ou (e) é verdadeira.

Resposta

(d)

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