Com respeito à série
podemos dizer que:
(a) Esta série diverge para
.
(b) Esta série diverge para
.
(c) Esta série converge para um número real negativo.
(d) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(e) Esta série converge para zero.
(a) Esta série diverge para
(b) Esta série diverge para
(c) Esta série converge para um número real negativo.
(d) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(e) Esta série converge para zero.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede que escolhamos qual das alternativas (a)–(e) é verdadeira. Informações relevantes que o enunciado dá:
- O termo geral da série é
. - Para todo
temos e , logo para todo . - As alternativas oferecem possibilidades de divergência para
ou , convergência para número real negativo, convergência para zero, ou “nenhuma das outras alternativas”.
A pergunta, portanto, é: a série converge ou diverge, e se converge, para que tipo de número (positivo, negativo ou zero)?
Passo 2
Vamos analisar convergência usando uma função contínua associada aos termos da série. Defina, para
,
Observações sobre
:
-
para todo (porque exponencial positiva e raiz positiva). - Para aplicar o Teste da Integral precisamos que
seja (eventualmente) decrescente. Para ver isso é conveniente usar a mudança de variável . Escrevendo em função de obtemos
Agora calcule a derivada de
em relação a
:
Como
implica
e
, segue que
para
. Portanto
é decrescente em
e, como
cresce com
, resulta que
também é decrescente em
. Assim
satisfaz as hipóteses do Teste da Integral (positiva, contínua e decrescente a partir de
).
Passo 3
Apresento o Teste da Integral (explicando rápido como usá-lo): se
é positiva, contínua e decrescente em
, então a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge (é finita). Além disso há as desigualdades de comparação
que nos dão uma estimativa numérica do somatório quando necessário.
Passo 4
Calcule a integral
Use a substituição
. Então
e
. Os limites: quando
tem
; quando
tem
. Substituindo,
Agora essa integral é elementar:
Portanto a integral converge e vale
.
Passo 5
Pelo Teste da Integral, como
, a série
converge. Usando as desigualdades do Passo 3 temos, numericamente,
Como
, isso mostra que a soma converge para um número real finito e positivo (entre aproximadamente
e
). Logo:
- Não diverge para
. - Não diverge para
. - Não converge para um número real negativo.
- Não converge para zero (a soma é positiva e distinta de zero).
Portanto nenhuma das alternativas (a), (b), (c) ou (e) é verdadeira.
Resposta
(d)