Considere as seguintes séries:
I. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cos n}{n^{2}},
II. \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\arctan n}{1+n^{2}},
III. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+3 n+7}{n^{3}+2 n^{2}+3 n+5}.
Escolha uma opção:
(a) Apenas as séries I e III são convergentes.
(b) Todas as séries são divergentes.
(c) Apenas as séries II e III são convergentes.
(d) Apenas a série II é convergente.
(e) Apenas a série I é convergente.
(f) Apenas as séries I e II são convergentes.
(g) Todas as séries são convergentes.
(h) Apenas a série III é convergente.
Passo 1
O enunciado dá três séries e pede que a gente escolha qual opção corresponde ao comportamento de convergência delas. As séries são:
I. \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cos n}{n^{2}}.
II. \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\arctan n}{1+n^{2}}.
III. \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+3 n+7}{n^{3}+2 n^{2}+3 n+5}.
Informações relevantes que o enunciado fornece (ou que podemos usar imediatamente):
\cos n é uma sequência limitada: para todo n, |\cos n|\le 1.
\arctan n é positiva para n\ge 0 e \displaystyle \lim_{n\to\infty}\arctan n=\frac{\pi}{2}.
Os numeradores e denominadores da série III são polinômios; para grandes n o termo geral se comporta como razão de n^{2} por n^{3}, ou seja, algo do tipo 1/n.
As opções de resposta são um conjunto de alternativas (a)–(h); no final teremos que indicar qual alternativa corresponde ao comportamento de cada série.
A partir daqui vamos analisar cada série passo a passo.
Passo 2
Analisando a série I: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cos n}{n^{2}}.
Primeiro conceito importante (pequena aula): uma série \sum a_n é absolutamente convergente se \sum |a_n| converge. Propriedade chave: se \sum |a_n| converge então \sum a_n também converge (convergência absoluta implica convergência).
Aplicando isso aqui: o termo geral é a_n=\dfrac{(-1)^{n}\cos n}{n^{2}}. Calculo do módulo:
Agora usamos o teste comparativo com a p-série. Outra mini-aula: a p-série \displaystyle\sum \frac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. No caso p=2 a p-série \sum 1/n^{2} converge.
Como 0\le |a_n|\le 1/n^{2} e \sum 1/n^{2} converge, pela comparação direta temos que \sum |a_n| converge. Logo \sum a_n é absolutamente convergente e, portanto, convergente.
Conclusão do passo: a série I é convergente (na verdade, absolutamente convergente).
Passo 3
Analisando a série II: \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\arctan n}{1+n^{2}}.
Observação inicial: o termo para n=0 é \dfrac{\arctan 0}{1+0^{2}}=0, então isso não causa problema. Para n\ge 1 todos os termos são positivos (\arctan n>0).
Dois caminhos simples (ambos didáticos):
Método A — comparação direta com p-série:
Sabemos que \arctan n\le \displaystyle \frac{\pi}{2} para todo n.
Como \arctan n\to \dfrac{\pi}{2} e \dfrac{n^{2}}{1+n^{2}}\to 1, o limite é \dfrac{\pi}{2}\neq 0. Pelo teste da comparação limite, \sum \dfrac{\arctan n}{1+n^{2}} tem o mesmo comportamento (convergência) que \sum 1/n^{2}, logo converge.
Pequena reforçada didática: usar que \arctan n\to\pi/2 é um modo elegante de reconhecer que os termos da série II, para grandes n, são equivalentes a uma constante multiplicada por 1/n^{2}, e como 1/n^{2} gera série convergente, a série II converge.
Conclusão do passo: a série II é convergente.
Passo 4
Analisando a série III: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+3 n+7}{n^{3}+2 n^{2}+3 n+5}.
Aqui vamos estudar o comportamento assintótico do termo geral. Técnica útil (pequena aula): quando temos razão de polinômios, o comportamento para n\to\infty é dominado pelos termos de maior grau. Se o numerador tem grau k e o denominador grau m, então o termo geral se comporta como n^{k-m}. Se k-m=-1 (ou seja, termo ~ 1/n), a série tende a se comportar como a série harmônica e geralmente diverge.
Vamos calcular de forma mais precisa usando o teste da comparação limite com a série harmônica \sum \dfrac{1}{n} (que diverge porque é a p-série com p=1).
o limite é finito e positivo, logo as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo caráter (ambas convergem ou ambas divergem). Como \sum \dfrac{1}{n} é a série harmônica e diverge, conclui-se que \sum a_n também diverge.
Pequeno reforço: essa é uma aplicação direta e muito útil — quando termos têm comportamento equivalente a 1/n (ou seja, limite da razão com 1/n é positivo), a série diverge porque a harmônica diverge.
Conclusão do passo: a série III é divergente.
Passo 5
Resumo das conclusões:
A série I é convergente (absolutamente convergente).