Segundo o Critério de Leibniz, qual é a quantidade mínima de termos da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}
que precisamos somar para encontrar uma aproximação da soma da série com erro menor ou igual a 10^{-1} ?
(a) 95
(b) 96
(c) 97
(d) 98
(e) 99
(f) 100
(g) 101
(h) 102

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a quantidade mínima de termos que precisamos somar da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}
para obter uma aproximação da soma da série com erro menor ou igual a \;10^{-1}. As opções dadas correspondem ao número de termos: 95,96,\dots,102.

Passo 2

Vou lembrar o resultado que vamos usar (Critério de Leibniz, forma que nos interessa): se (a_n) é uma sequência de termos positivos tal que a_{n+1}\le a_n para todo n (sequência não crescente) e \lim_{n\to\infty} a_n = 0, então a série alternada
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} a_n
converge, e o resto após somar os N primeiros termos, R_N = S - S_N, satisfaz
|R_N| \le a_{N+1}.
Aqui S é a soma infinita e S_N a soma parcial com N termos. Em palavras: o erro ao truncar é no máximo o próximo termo não somado.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: temos a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}.
Preciso verificar as hipóteses do Critério de Leibniz:
  • Positividade: a_n>0 para todo n — claro.
  • Monotonicidade não crescente: para n\ge1,
\frac{1}{\sqrt{n+1}} < \frac{1}{\sqrt{n}},
porque \sqrt{n+1}>\sqrt{n}. Logo (a_n) é decrescente.
  • Limite nulo: \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0.
    Portanto as hipóteses valem e podemos usar a estimativa de resto |R_N| \le a_{N+1}.

Passo 4

Queremos |R_N| \le 10^{-1}. Pelo Critério de Leibniz basta garantir
a_{N+1} = \frac{1}{\sqrt{N+1}} \le 10^{-1}.
Então precisamos resolver essa desigualdade para N.

Passo 5

Resolver \dfrac{1}{\sqrt{N+1}} \le 10^{-1}.
Invertendo termos positivos:
\sqrt{N+1} \ge 10.
Agora elevando ao quadrado (mantendo a desigualdade pois ambos os lados não negativos):
N+1 \ge 100.
Logo
N \ge 99.

Passo 6

Interpretação: qualquer N inteiro com N\ge 99 atende à condição a_{N+1}\le 10^{-1}, então o erro fica \le 10^{-1}. Precisamos da quantidade mínima de termos, ou seja, do menor N inteiro que satisfaz a desigualdade: N_{\min}=99.
Para confirmar que N=98 não basta, note que 98+1=99<100, então \sqrt{99}<10 e portanto
\frac{1}{\sqrt{99}} > \frac{1}{10}=10^{-1},
ou seja, para N=98 o resto pode ser maior que 10^{-1}. Já para N=99 temos a_{100}=\dfrac{1}{\sqrt{100}}=\dfrac{1}{10}=10^{-1}, que atende ao pedido (erro menor ou igual a 10^{-1}).

Passo 7

Conclusão: a quantidade mínima de termos é N=99. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (e).

Resposta

99

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