Segundo o Critério de Leibniz, qual é a quantidade mínima de termos da série
que precisamos somar para encontrar uma aproximação da soma da série com erro menor ou igual a
?
(a) 95
(b) 96
(c) 97
(d) 98
(e) 99
(f) 100
(g) 101
(h) 102
(a) 95
(b) 96
(c) 97
(d) 98
(e) 99
(f) 100
(g) 101
(h) 102
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a quantidade mínima de termos que precisamos somar da série
para obter uma aproximação da soma da série com erro menor ou igual a
. As opções dadas correspondem ao número de termos:
.
Passo 2
Vou lembrar o resultado que vamos usar (Critério de Leibniz, forma que nos interessa): se
é uma sequência de termos positivos tal que
para todo
(sequência não crescente) e
, então a série alternada
converge, e o resto após somar os
primeiros termos,
, satisfaz
Aqui
é a soma infinita e
a soma parcial com
termos. Em palavras: o erro ao truncar é no máximo o próximo termo não somado.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: temos
.
Preciso verificar as hipóteses do Critério de Leibniz:
Preciso verificar as hipóteses do Critério de Leibniz:
- Positividade:
para todo — claro. - Monotonicidade não crescente: para
,
porque
. Logo
é decrescente.
- Limite nulo:
.
Portanto as hipóteses valem e podemos usar a estimativa de resto.
Passo 4
Queremos
. Pelo Critério de Leibniz basta garantir
Então precisamos resolver essa desigualdade para
.
Passo 5
Resolver
.
Invertendo termos positivos:
Invertendo termos positivos:
Agora elevando ao quadrado (mantendo a desigualdade pois ambos os lados não negativos):
Logo
Passo 6
Interpretação: qualquer
inteiro com
atende à condição
, então o erro fica
. Precisamos da quantidade mínima de termos, ou seja, do menor
inteiro que satisfaz a desigualdade:
.
Para confirmar que
não basta, note que
, então
e portanto
ou seja, para
o resto pode ser maior que
. Já para
temos
, que atende ao pedido (erro menor ou igual a
).
Passo 7
Conclusão: a quantidade mínima de termos é
. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (e).
Resposta
99