Responda. (40 pontos)
Utilizando integração, obtenha a série de potências de
;
Utilizando integração, obtenha a série de potências de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar a série de potências da função
usando integração. Isso envolve conceitos de séries infinitas e cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como expandir funções em séries e como integrar termo a termo essas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma série que a gente já conhece: a série geométrica. Sabemos que:
Essa é uma série bem conhecida e serve como base para a gente trabalhar.
Passo 3
Agora, queremos encontrar uma série para
. Observando que a derivada de
é:
Podemos usar essa relação para encontrar a série de
integrando a série geométrica que mencionamos.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da série geométrica:
A integral do lado esquerdo é:
E integrando o lado direito termo a termo, temos:
Passo 5
Igualando as duas integrais, podemos eliminar a constante
(já que estamos trabalhando com séries onde a constante de integração não afeta a forma da série):
Vamos ajustar o índice da somatória para simplificar:
Substituindo
por
, onde
, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A série de potências de
é: