Responda. (40 pontos)
Utilizando integração, obtenha a série de potências de ln (1-x);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar a série de potências da função ln(1 - x) usando integração. Isso envolve conceitos de séries infinitas e cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como expandir funções em séries e como integrar termo a termo essas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma série que a gente já conhece: a série geométrica. Sabemos que:
11 - x = sumn=0^infty x^n para |x| < 1
Essa é uma série bem conhecida e serve como base para a gente trabalhar.

Passo 3

Agora, queremos encontrar uma série para ln(1 - x). Observando que a derivada de ln(1 - x) é:
ddx ln(1 - x) = -11 - x
Podemos usar essa relação para encontrar a série de ln(1 - x) integrando a série geométrica que mencionamos.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da série geométrica:
integral 11 - x , dx = integral sumn=0^infty x^n , dx
A integral do lado esquerdo é:
integral 11 - x , dx = -ln(1 - x) + C
E integrando o lado direito termo a termo, temos:
integral sumn=0^infty x^n , dx = sumn=0^infty x^n+1n+1 + C

Passo 5

Igualando as duas integrais, podemos eliminar a constante C (já que estamos trabalhando com séries onde a constante de integração não afeta a forma da série):
- ln(1 - x) = sumn=0^infty x^n+1n+1
Vamos ajustar o índice da somatória para simplificar:
Substituindo n+1 por k, onde k = n + 1, temos:
- ln(1 - x) = sumk=1^infty x^kk
Multiplicando ambos os lados por -1:
ln(1 - x) = -sumk=1^infty x^kk

Resposta

A série de potências de ln(1 - x) é:
ln(1 - x) = -sumn=1^infty x^nn para |x| < 1

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