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Utilizando série de potências calcule
precisão de 5 casas decimais.
Utilizando série de potências calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o valor de
usando séries de potências, com precisão de 5 casas decimais. Isso envolve entender o que são séries de potências e como elas podem ser usadas para aproximar valores de funções como o logaritmo natural.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que uma série de potências é uma expressão da forma:
onde
são os coeficientes da série,
é a variável e
é o centro da série. No caso da função
, temos a série de Taylor expandida em torno de
:
Essa série é válida para
.
Passo 3
Nosso objetivo é calcular
. Podemos reescrever
como:
Mas a série que temos é válida para
, e aqui
, que está fora desse intervalo. Para contornar isso, vamos usar uma identidade do logaritmo:
Agora, vamos aproximar
usando a série de potências com
, que está dentro do intervalo de convergência.
Passo 4
Aplicando a série de Taylor para
com
:
Vamos calcular os termos dessa série até que a soma se estabilize com 5 casas decimais de precisão.
Passo 5
Vamos calcular os termos passo a passo:
-
: -
: -
: -
: -
:
Somando esses termos:
Verificamos que os termos seguintes contribuirão com valores menores que 0.0001, garantindo a precisão desejada.
Passo 6
Agora, temos:
E sabemos que:
Então, somando os dois:
Resposta
Portanto, usando séries de potências, o valor de
com precisão de 5 casas decimais é aproximadamente
.