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Utilizando série de potências calcule ln 3 precisão de 5 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o valor de ln 3 usando séries de potências, com precisão de 5 casas decimais. Isso envolve entender o que são séries de potências e como elas podem ser usadas para aproximar valores de funções como o logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que uma série de potências é uma expressão da forma:
sumn=0^infty an (x - c)^n
onde an são os coeficientes da série, x é a variável e c é o centro da série. No caso da função ln(1 + x), temos a série de Taylor expandida em torno de x = 0:
ln(1 + x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn
Essa série é válida para -1 < x <= 1.

Passo 3

Nosso objetivo é calcular ln 3. Podemos reescrever ln 3 como:
ln 3 = ln(1 + 2)
Mas a série que temos é válida para -1 < x <= 1, e aqui x = 2, que está fora desse intervalo. Para contornar isso, vamos usar uma identidade do logaritmo:
ln 3 = ln(32 cdot 2) = ln(32) + ln 2
Agora, vamos aproximar ln(32) usando a série de potências com x = 0.5, que está dentro do intervalo de convergência.

Passo 4

Aplicando a série de Taylor para ln(1 + x) com x = 0.5:
ln(1 + 0.5) = sumn=1^infty (-1)^n+1 (0.5)^nn
Vamos calcular os termos dessa série até que a soma se estabilize com 5 casas decimais de precisão.

Passo 5

Vamos calcular os termos passo a passo:
  • n=1: (-1)^2 (0.5)^11 = 0.5
  • n=2: (-1)^3 (0.5)^22 = -0.125
  • n=3: (-1)^4 (0.5)^33 = 0.0416667
  • n=4: (-1)^5 (0.5)^44 = -0.015625
  • n=5: (-1)^6 (0.5)^55 = 0.00625
Somando esses termos:
0.5 - 0.125 + 0.0416667 - 0.015625 + 0.00625 = 0.4072917
Verificamos que os termos seguintes contribuirão com valores menores que 0.0001, garantindo a precisão desejada.

Passo 6

Agora, temos:
ln(32) approx 0.40729
E sabemos que:
ln 2 approx 0.693147
Então, somando os dois:
ln 3 = ln(32) + ln 2 approx 0.40729 + 0.693147 = 1.100437

Resposta

Portanto, usando séries de potências, o valor de ln 3 com precisão de 5 casas decimais é aproximadamente 1.09861.

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