Responda a algumas questões relacionadas ao seguinte problema da Lista 11: Seção 14.1: 53, considerando a temperatura em uma placa metálica fina infinita dada por
T(x, y)=\frac{100}{1+x^{2}+2 y^{2}}
E coloque a sua resolução no PDF a ser submetido.
Parte c) Avalie T(0,0) e mostre que T(0,0)>T(x, y) para qualquer (x, y) \in R^{2} e (x, y) \neq(0,0).
O ponto \left(x_{0}, y_{0}\right)=(0,0) é o que chamamos de ponto de máximo de \boldsymbol{T}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}).

Passo 1

O enunciado fornece a temperatura numa placa por
T(x,y)=\frac{100}{1+x^{2}+2y^{2}}
e pede, na parte (c): (i) avaliar T(0,0) e (ii) mostrar que T(0,0)>T(x,y) para qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^{2} com (x,y)\neq(0,0). Em seguida concluir que o ponto \left(x_{0},y_{0}\right)=(0,0) é um ponto de máximo de T.

Passo 2

Primeiro vamos calcular T(0,0) diretamente, substituindo x=0 e y=0 na fórmula dada. Temos
T(0,0)=\frac{100}{1+0^{2}+2\cdot 0^{2}}=\frac{100}{1}=100.
Isso significa que a temperatura no ponto origem é 100 (unidades da temperatura que o problema adotar).

Passo 3

Agora vou explicar um princípio simples e muito útil: se uma função tem a forma de um número positivo dividido por uma expressão que é sempre maior ou igual a um certo valor, então a função atinge seu valor máximo quando o denominador é mínimo. Mais concretamente, para números positivos a>0 e b>0, se b\ge b_{0}>0 então \dfrac{a}{b}\le \dfrac{a}{b_{0}}; ou seja, a função recíproca diminui quando o denominador aumenta.
No nosso caso o denominador é 1+x^{2}+2y^{2}. Note que, para todo (x,y),
x^{2}\ge 0\quad\text{e}\quad 2y^{2}\ge 0,
pois quadrado é sempre não negativo. Somando com 1 obtemos
1+x^{2}+2y^{2}\ge 1,
e a igualdade só ocorre quando x^{2}=0 e y^{2}=0, isto é, exatamente em x=0 e y=0.

Passo 4

Usando o fato do passo anterior, aplicamos a propriedade da recíproca ao nosso T. Para qualquer (x,y) temos
T(x,y)=\frac{100}{1+x^{2}+2y^{2}}\le \frac{100}{1}=100.
E, como a desigualdade no denominador é estrita sempre que (x,y)\neq(0,0) (porque então x^{2}+2y^{2}>0), a desigualdade para T também é estrita:
\text{se }(x,y)\neq(0,0)\quad\text{então}\quad T(x,y)<100.ã
Portanto T(0,0)=100 é maior do que T(x,y) para qualquer outro ponto (x,y)\neq(0,0).

Passo 5

Interpretação: a origem (0,0) é um ponto onde T atinge seu valor máximo global, porque nenhum outro ponto alcança temperatura maior que 100, e a origem alcança exatamente 100. Em termos formais, (0,0) é o único ponto de máximo global de T.

Passo 6

Como complemento didático (opcional, para ver outra abordagem): podemos também verificar que (0,0) é um ponto crítico pelas derivadas parciais e que a segunda derivada indica máximo local. Usando D=1+x^{2}+2y^{2} e regra da cadeia:
T_{x}=-\frac{200x}{D^{2}},\qquad T_{y}=-\frac{400y}{D^{2}}.
Assim \nabla T=(0,0) exatamente em x=0,y=0. As segundas derivadas avaliadas em (0,0) são
T_{xx}(0,0)=-200,\qquad T_{yy}(0,0)=-400,\qquad T_{xy}(0,0)=0,
logo a matriz Hessiana em (0,0) tem autovalores negativos, indicando máximo local. Combinando essa verificação local com a desigualdade global do Passo 4, confirmamos que é de fato um máximo global único.

Resposta

T(0,0)=100.\n (0,0) é o ponto de máximo global de T(x,y), pois para todo (x,y)\neq(0,0) temos T(x,y)<100.

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