Responda a algumas questões relacionadas ao seguinte problema da Lista 11: Seção 14.1: 53, considerando a temperatura em uma placa metálica fina infinita dada por
E coloque a sua resolução no PDF a ser submetido.
Parte c) Avalie
e mostre que
para qualquer
e
.
O ponto
é o que chamamos de ponto de máximo de
.
Parte c) Avalie
O ponto
Passo 1
O enunciado fornece a temperatura numa placa por
e pede, na parte (c): (i) avaliar
e (ii) mostrar que
para qualquer
com
. Em seguida concluir que o ponto
é um ponto de máximo de
.
Passo 2
Primeiro vamos calcular
diretamente, substituindo
e
na fórmula dada. Temos
Isso significa que a temperatura no ponto origem é
(unidades da temperatura que o problema adotar).
Passo 3
Agora vou explicar um princípio simples e muito útil: se uma função tem a forma de um número positivo dividido por uma expressão que é sempre maior ou igual a um certo valor, então a função atinge seu valor máximo quando o denominador é mínimo. Mais concretamente, para números positivos
e
, se
então
; ou seja, a função recíproca diminui quando o denominador aumenta.
No nosso caso o denominador é
. Note que, para todo
,
pois quadrado é sempre não negativo. Somando com
obtemos
e a igualdade só ocorre quando
e
, isto é, exatamente em
e
.
Passo 4
Usando o fato do passo anterior, aplicamos a propriedade da recíproca ao nosso
. Para qualquer
temos
E, como a desigualdade no denominador é estrita sempre que
(porque então
), a desigualdade para
também é estrita:
Portanto
é maior do que
para qualquer outro ponto
.
Passo 5
Interpretação: a origem
é um ponto onde
atinge seu valor máximo global, porque nenhum outro ponto alcança temperatura maior que
, e a origem alcança exatamente
. Em termos formais,
é o único ponto de máximo global de
.
Passo 6
Como complemento didático (opcional, para ver outra abordagem): podemos também verificar que
é um ponto crítico pelas derivadas parciais e que a segunda derivada indica máximo local. Usando
e regra da cadeia:
Assim
exatamente em
. As segundas derivadas avaliadas em
são
logo a matriz Hessiana em
tem autovalores negativos, indicando máximo local. Combinando essa verificação local com a desigualdade global do Passo 4, confirmamos que é de fato um máximo global único.