7^{\underline{\mathrm{a}}} QUESTÃO

A pressão P em uma superfície é modelada pela função:
P(x, y)=x \cdot y^{2}+x^{2} \cdot \ln y
Assinale a alternativa correta com a expressão que descreve como a pressão varia somente com a posição x, mantendo y fixo:

Passo 1

O enunciado nos dá a função pressão
P(x,y)=x\cdot y^{2}+x^{2}\cdot \ln y
e pede a expressão que descreve como a pressão varia somente com a posição x, mantendo y fixo.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de P em termos de x e y é \;P(x,y)=x\,y^{2}+x^{2}\ln y.
  • Devemos considerar variação apenas em x enquanto y permanece fixo.

Passo 2

O que significa “manter y fixo”? Significa que tratamos y como uma constante (um valor que não muda) e consideramos P apenas como função da variável x. Em outras palavras, quando y é fixo, P fica reduzida a uma função de uma variável só, que podemos escrever como
P(x)=x\,y^{2}+x^{2}\ln y,
onde, nesta expressão, y é um número fixo (constante).

Passo 3

Interpretação útil: ao tratar y como constante, a expressão acima é um polinômio em x de grau 2 cuja forma é
P(x)=\underbrace{y^{2}}_{\text{coef. linear em }x}\cdot x \;+\; \underbrace{\ln y}_{\text{coef. do }x^{2}}\cdot x^{2}.
Ou seja, para cada valor fixo de y obtemos uma parábola em x.

Passo 4

Muitas vezes, quando se pergunta "como a pressão varia somente com x" quer-se a taxa de variação em relação a x (isto é, a derivada parcial de P em relação a x, mantendo y fixo). Vou calcular essa taxa de variação passo a passo.
Regra usada: se a é constante, a derivada de a\cdot x em relação a x é a e a derivada de a\cdot x^{2} é 2a x. Aqui y^{2} e \ln y são constantes quando y está fixo.
Calculemos termo a termo:
  • Derivada do primeiro termo \;x\,y^{2}: como y^{2} é constante, a derivada é \;y^{2}.
  • Derivada do segundo termo \;x^{2}\ln y: como \ln y é constante, a derivada é \;2x\ln y.
Somando os resultados obtemos a derivada parcial
\frac{\partial P}{\partial x}=y^{2}+2x\ln y.

Passo 5

Pequeno exemplo numérico para fixar a ideia: se y=2, então P(x)=x\cdot 2^{2}+x^{2}\ln 2=4x+x^{2}\ln 2 e a taxa de variação é \partial P/\partial x=4+2x\ln 2. Isso mostra concretamente como a expressão depende de x.

Resposta

P(x)=x\,y^{2}+x^{2}\ln y
\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}=y^{2}+2x\ln y

Exercícios relacionados