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F(x, y, z)=(3 x+y) i+x y^{2} z j+x z^{2} k
F(x, y, z)=(3 x+y) i+x y^{2} z j+x z^{2} k
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular o rotacional de
, isto é
, e calcular a divergência de
, isto é
.
A informação dada é o campo vetorial
A informação dada é o campo vetorial
Não há outras condições ou restrições no enunciado.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que são divergência e rotacional (sem pressa, passo a passo).
A divergência de um campo vetorial
é um número em cada ponto dado por
Aqui
significa derivada parcial da componente
do campo em relação à variável
; as outras são análogas. Intuitivamente, a divergência mede se o ponto é fonte (positivo) ou sumidouro (negativo) do campo.
O rotacional (curl) de
é um vetor dado por
Cada termo é uma diferença de derivadas parciais; o rotacional mede a tendência de rotação do campo em torno de cada eixo.
Passo 3
Identifico as componentes do campo
:
Vou usar essas expressões para calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Calculo da divergência
.
Derivadas parciais necessárias:
Somando conforme a fórmula da divergência:
Podemos fatorar
se quisermos:
Passo 5
Agora calculo do rotacional
. Vou aplicar a fórmula componente a componente.
Primeira componente (coeficiente de
):
Calculo as derivadas:
Portanto a primeira componente é
Passo 6
Segunda componente (coeficiente de
):
Calculo as derivadas:
Logo a segunda componente é
Passo 7
Terceira componente (coeficiente de
):
Calculo as derivadas:
Portanto a terceira componente é
Passo 8
Juntando as três componentes obtidas:
Fiz as derivadas parciais explicitamente e montei o vetor conforme a fórmula do rotacional.