Ache ∇ × Fe ∇ · F.
F(x, y, z)=(3 x+y) i+x y^{2} z j+x z^{2} k

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular o rotacional de F, isto é \nabla \times F, e calcular a divergência de F, isto é \nabla \cdot F.
A informação dada é o campo vetorial
F(x,y,z)=(3x+y)\,\mathbf{i} + x y^{2} z\,\mathbf{j} + x z^{2}\,\mathbf{k}.
Não há outras condições ou restrições no enunciado.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que são divergência e rotacional (sem pressa, passo a passo).
A divergência de um campo vetorial F=(F_x,F_y,F_z) é um número em cada ponto dado por
\nabla\cdot F=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
Aqui \frac{\partial F_x}{\partial x} significa derivada parcial da componente x do campo em relação à variável x; as outras são análogas. Intuitivamente, a divergência mede se o ponto é fonte (positivo) ou sumidouro (negativo) do campo.
O rotacional (curl) de F é um vetor dado por
\nabla\times F=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\mathbf{i} +\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\mathbf{j} +\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\mathbf{k}.
Cada termo é uma diferença de derivadas parciais; o rotacional mede a tendência de rotação do campo em torno de cada eixo.

Passo 3

Identifico as componentes do campo F:
F_x(x,y,z)=3x+y,\quad F_y(x,y,z)=x y^{2} z,\quad F_z(x,y,z)=x z^{2}.
Vou usar essas expressões para calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculo da divergência \nabla\cdot F.
Derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial F_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(3x+y)=3,
\frac{\partial F_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x y^{2} z)=x\cdot 2y\cdot z=2xyz,
\frac{\partial F_z}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x z^{2})=x\cdot 2z=2xz.
Somando conforme a fórmula da divergência:
\nabla\cdot F=3+2xyz+2xz.
Podemos fatorar 2xz se quisermos:
\nabla\cdot F=3+2xz(y+1).

Passo 5

Agora calculo do rotacional \nabla\times F. Vou aplicar a fórmula componente a componente.
Primeira componente (coeficiente de \mathbf{i}):
\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}.
Calculo as derivadas:
\frac{\partial F_z}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x z^{2})=0\quad(\text{pois }x,z\text{ são tratados como constantes em relação a }y),ãçã
\frac{\partial F_y}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x y^{2} z)=x y^{2}.
Portanto a primeira componente é
0 - x y^{2} = -x y^{2}.

Passo 6

Segunda componente (coeficiente de \mathbf{j}):
\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}.
Calculo as derivadas:
\frac{\partial F_x}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(3x+y)=0,
\frac{\partial F_z}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x z^{2})=z^{2}.
Logo a segunda componente é
0 - z^{2} = -z^{2}.

Passo 7

Terceira componente (coeficiente de \mathbf{k}):
\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}.
Calculo as derivadas:
\frac{\partial F_y}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x y^{2} z)=y^{2} z,
\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(3x+y)=1.
Portanto a terceira componente é
y^{2} z - 1.

Passo 8

Juntando as três componentes obtidas:
\nabla\times F = -x y^{2}\,\mathbf{i} - z^{2}\,\mathbf{j} + (y^{2} z - 1)\,\mathbf{k}.
Fiz as derivadas parciais explicitamente e montei o vetor conforme a fórmula do rotacional.

Resposta

\nabla\times F = -x y^{2}\,\mathbf{i} - z^{2}\,\mathbf{j} + (y^{2} z - 1)\,\mathbf{k}
\nabla\cdot F = 3 + 2xyz + 2xz = 3 + 2xz(y+1)

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