QUESTÃO
Nem sempre devemos, ou podemos, calcular as derivadas diretamente a partir da definição, usando o limite da razão incremental, pois este método, além de ser repetitivo para certas funções como as lineares e polinomiais, só é prático para funções muito particulares e simples. Temos algumas regras de derivação que permitem obter derivadas de funções de uma forma mais fácil e rápida. Por exemplo, na divisão de funções, quando o denominador
é não nulo, a derivada pode ser obtido como:
Neste caso, a ordem das funções f e g, não pode ser mudada.
Disponível em: http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/calculo/derivada2.html. Acesso em: Agosto. 2024 (adaptado).
Sobre as regras para obter a derivada de uma função, se derivarmos a função
e calcular a sua derivada no valor zero, obtemos um valor de:
Disponível em: http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/calculo/derivada2.html. Acesso em: Agosto. 2024 (adaptado).
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada dessa função avaliada em
, ou seja, calcular o valor de
.
Informações relevantes fornecidas:
A função é
.
Queremos o valor de
.
Note que em
o denominador vale
, então a função está bem definida e a regra da razão pode ser aplicada.
Passo 2
Apresento a regra que vamos usar (regra do quociente). Se tivermos duas funções
e
com
, então a derivada do quociente
é dada por:
Explicando as letras:
é a função do numerador,
é a do denominador;
e
são as derivadas respectivas. A fórmula diz: multiplica-se o denominador pela derivada do numerador, subtrai-se o numerador vezes a derivada do denominador, e divide-se pelo quadrado do denominador.
Passo 3
Identifico numerador e denominador na nossa função:
e
.
Agora calculo as derivadas simples:
(derivada de
é
, e de
é
),
(derivada de
é
e de
é
).
Passo 4
Agora aplico a regra do quociente e substituo
:
Faço a simplificação do numerador passo a passo:
Portanto temos a forma simplificada:
Passo 5
Agora avalio em
:
Passo 6
Verificação alternativa (dica útil para prova): podemos reescrever a função fazendo a divisão polinomial:
Derivando essa forma, a derivada de
é
e a derivada de
é
(uso da regra da potência/chain rule para
). Chegamos à mesma expressão para
e portanto à mesma avaliação
. Isso reforça que o cálculo anterior está correto.