9^{\underline{\mathrm{a}}} QUESTÃO

Nem sempre devemos, ou podemos, calcular as derivadas diretamente a partir da definição, usando o limite da razão incremental, pois este método, além de ser repetitivo para certas funções como as lineares e polinomiais, só é prático para funções muito particulares e simples. Temos algumas regras de derivação que permitem obter derivadas de funções de uma forma mais fácil e rápida. Por exemplo, na divisão de funções, quando o denominador \mathrm{g}(\mathrm{x}) é não nulo, a derivada pode ser obtido como:
(f / g)^{\prime}(x)=\frac{g(x) \cdot f^{\prime}(x)-f(x) \cdot g^{\prime}(x)}{g^{2}(x)}
Neste caso, a ordem das funções f e g, não pode ser mudada.
Disponível em: http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/calculo/derivada2.html. Acesso em: Agosto. 2024 (adaptado).
Sobre as regras para obter a derivada de uma função, se derivarmos a função f(x)=(100 x+300) /(x+10) e calcular a sua derivada no valor zero, obtemos um valor de:

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\frac{100x+300}{x+10} e pede a derivada dessa função avaliada em x=0, ou seja, calcular o valor de \displaystyle f'(0).
Informações relevantes fornecidas:
\displaystyle A função é \displaystyle f(x)=\frac{100x+300}{x+10}.
\displaystyle Queremos o valor de \displaystyle f'(0).
\displaystyle Note que em x=0 o denominador vale \displaystyle 0+10=10\neq0, então a função está bem definida e a regra da razão pode ser aplicada.

Passo 2

Apresento a regra que vamos usar (regra do quociente). Se tivermos duas funções \displaystyle u(x) e \displaystyle v(x) com \displaystyle v(x)\neq0, então a derivada do quociente \displaystyle \frac{u}{v} é dada por:
\left(\frac{u}{v}\right)'(x)=\frac{v(x)\,u'(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Explicando as letras:
\displaystyle u(x) é a função do numerador, \displaystyle v(x) é a do denominador; \displaystyle u'(x) e \displaystyle v'(x) são as derivadas respectivas. A fórmula diz: multiplica-se o denominador pela derivada do numerador, subtrai-se o numerador vezes a derivada do denominador, e divide-se pelo quadrado do denominador.

Passo 3

Identifico numerador e denominador na nossa função:
\displaystyle u(x)=100x+300 e \displaystyle v(x)=x+10.
Agora calculo as derivadas simples:
\displaystyle u'(x)=100 (derivada de 100x é 100, e de 300 é 0),
\displaystyle v'(x)=1 (derivada de x é 1 e de 10 é 0).

Passo 4

Agora aplico a regra do quociente e substituo u,u',v,v':
f'(x)=\frac{v(x)\,u'(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{(x+10)\cdot100-(100x+300)\cdot1}{(x+10)^{2}}.
Faço a simplificação do numerador passo a passo:
(x+10)\cdot100=100x+1000,
(100x+1000)-(100x+300)=100x+1000-100x-300=700.
Portanto temos a forma simplificada:
f'(x)=\frac{700}{(x+10)^{2}}.

Passo 5

Agora avalio em x=0:
f'(0)=\frac{700}{(0+10)^{2}}=\frac{700}{10^{2}}=\frac{700}{100}=7.

Passo 6

Verificação alternativa (dica útil para prova): podemos reescrever a função fazendo a divisão polinomial:
\frac{100x+300}{x+10}=100-\frac{700}{x+10}.
Derivando essa forma, a derivada de 100 é 0 e a derivada de -\dfrac{700}{x+10} é \dfrac{700}{(x+10)^{2}} (uso da regra da potência/chain rule para (x+10)^{-1}). Chegamos à mesma expressão para f'(x) e portanto à mesma avaliação f'(0)=7. Isso reforça que o cálculo anterior está correto.

Resposta

7

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