Responda corretamente os itens a seguir.
Calcule lim x 0 1x integral0^x(1-tg 2 t)^12 d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto 0 1x integral0^x (1-tan(2t))^1/2,dt. O conteúdo principal aqui é limite de média de uma função definida por integral, e vamos precisar do Teorema do Valor Médio para integrais (ou, alternativamente, de uma expansão em série de Taylor) para lidar com essa expressão.

Passo 2

A função f(t)=(1-tan(2t))^1/2 é contínua em torno de t=0. Pelo Teorema do Valor Médio para integrais, existe cxin(0,x) tal que
$$\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t),dt=f(c_x),.
$$
Como 1xintegral0^xf(t),dt=f(cx), quando cxto0, temos
$$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t),dt=\lim_{c_x\to0}f(c_x)=f(0)=\sqrt{1-\tan(0)}=1,.
$$

Resposta

1

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