Responda detalhadamente as questôes a seguir.
Defina o alcance horizontal de um objeto em um lançamento balistico, desconsiderando a resistência do ar.
Defina o alcance horizontal de um objeto em um lançamento balistico, desconsiderando a resistência do ar.
Passo 1
O que o enunciado pede: definir o alcance horizontal de um objeto em um lançamento balístico, desconsiderando a resistência do ar.
Informações e condições que temos (explícitas ou implícitas):
Informações e condições que temos (explícitas ou implícitas):
- O movimento é o lançamento de um projétil sob ação apenas da gravidade (sem resistência do ar).
- Podemos usar uma velocidade inicial escalar
, e um ângulo de lançamento , medido em relação à horizontal. - A gravidade tem intensidade
, (tomada positiva; aponta para baixo). - Pode haver dois casos úteis: lançamento e aterrissagem no mesmo nível (altura inicial
) e lançamento com altura inicial ).
O objetivo final é dar uma definição clara em palavras e as fórmulas que expressam o alcance horizontal em função das variáveis acima.
Passo 2
Escolhendo um sistema de coordenadas e decompondo a velocidade inicial.
- Tome o eixo
na horizontal e o eixo vertical para cima. - A velocidade inicial vetorial pode ser decomposta em componentes horizontal e vertical. Essas componentes são as projeções de
, nas direções e . Elas valem:
Explicação didática: multiplicar por
pega quanto da velocidade está na horizontal; multiplicar por
pega quanto está na vertical. Essas fórmulas vêm da trigonometria do triângulo formado por
, e seu ângulo
,.
Passo 3
Escrevendo as equações do movimento (paramétricas).
- Movimento horizontal (sem aceleração horizontal, porque desconsideramos resistência do ar):
- Movimento vertical (aceleração constante
, para cima positivo):
Explicação: a equação de
vem da fórmula geral da posição com aceleração constante: posição inicial + velocidade inicial
tempo +
aceleração
.
Passo 4
Definindo alcance horizontal e encontrando o tempo de voo (caso geral com
).
- Definição operacional: o alcance horizontal é a coordenada
do ponto onde o projétil atinge o solo (ou o nível de referência ) pela primeira vez após o lançamento. Em fórmula:
onde
é o tempo positivo em que
.
- Para achar
, resolvemos a equação
Reescrevendo como equação quadrática em
:
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). A solução física (tempo positivo) é
Explicação do discriminante: dentro da raiz temos
; é sempre não negativo para as situações físicas usuais (ou indicará que o projétil nunca cruza
se a configuração não fizer sentido).
Passo 5
Expressando o alcance horizontal no caso geral (
qualquer).
- Plugando
em :
- Assim, a fórmula geral do alcance (partindo do nível
e atingindo ) é
Essa expressão diz quanto o projétil percorre horizontalmente antes de atingir o nível
, em termos de
,
,
e
.
Passo 6
Caso especial mais usado em provas: lançamento e aterrissagem no mesmo nível (
).
- Colocando
na fórmula do tempo ou resolvendo diretamente:
a equaçãovira
As soluções são
(lançamento) e
(tempo de voo até retornar ao mesmo nível).
- O alcance é então
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos a forma clássica:
Passo 7
Interpretação e propriedades importantes (úteis na prova).
- Máximo alcance para dado
: como , o alcance máximo ocorre quando , ou seja e . O alcance máximo é
- Simetria de ângulos: ângulos complementares
e produzem o mesmo alcance, porque . Na prática, lançar com e com dá o mesmo , embora as alturas máximas e tempos de voo sejam diferentes. - Efeito da altura inicial
: se o alcance aumenta (o tempo de queda é maior), e a fórmula geral do Passo 5 mostra isso explicitamente.
Passo 8
Dicas de prova e como aplicar rapidamente essa definição em exercícios:
- Identifique se o problema tem aterrissagem no mesmo nível. Se sim, memorize e use direto
. - Se houver altura inicial diferente, use a fórmula do Passo 5 ou resolva a quadrática para
e multiplique por . - Em toda conta, deixe claro o sinal e a direção da gravidade (use
como módulo e ponha na equação vertical). - Para maximizar alcance em prova, derive que
ou observe .
Resposta
Definição: o alcance horizontal é a distância horizontal percorrida pelo projétil desde o ponto de lançamento até o ponto onde ele atinge o nível de referência
, desconsiderando resistência do ar.
Fórmula geral (altura inicial ):
Fórmula geral (altura inicial
Caso usual (mesmo nível,
):
com alcance máximo
ocorrendo em
.