Responda detalhadamente as questôes a seguir.
Defina o alcance horizontal de um objeto em um lançamento balistico, desconsiderando a resistência do ar.

Passo 1

O que o enunciado pede: definir o alcance horizontal de um objeto em um lançamento balístico, desconsiderando a resistência do ar.
Informações e condições que temos (explícitas ou implícitas):
  • O movimento é o lançamento de um projétil sob ação apenas da gravidade (sem resistência do ar).
  • Podemos usar uma velocidade inicial escalar \,v_0, e um ângulo de lançamento \,\theta, medido em relação à horizontal.
  • A gravidade tem intensidade \,g, (tomada positiva; aponta para baixo).
  • Pode haver dois casos úteis: lançamento e aterrissagem no mesmo nível (altura inicial \,y_0=0) e lançamento com altura inicial \,y_0\neq0).
    O objetivo final é dar uma definição clara em palavras e as fórmulas que expressam o alcance horizontal em função das variáveis acima.

Passo 2

Escolhendo um sistema de coordenadas e decompondo a velocidade inicial.
  • Tome o eixo x na horizontal e o eixo y vertical para cima.
  • A velocidade inicial vetorial pode ser decomposta em componentes horizontal e vertical. Essas componentes são as projeções de \,v_0, nas direções x e y. Elas valem:
v_{0x} = v_0\cos\theta,
v_{0y} = v_0\sin\theta.
Explicação didática: multiplicar por \cos\theta pega quanto da velocidade está na horizontal; multiplicar por \sin\theta pega quanto está na vertical. Essas fórmulas vêm da trigonometria do triângulo formado por \,v_0, e seu ângulo \,\theta,.

Passo 3

Escrevendo as equações do movimento (paramétricas).
  • Movimento horizontal (sem aceleração horizontal, porque desconsideramos resistência do ar):
x(t) = v_{0x}\,t = v_0\cos\theta\; t.
  • Movimento vertical (aceleração constante -g, para cima positivo):
y(t) = y_0 + v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2}g t^2 = y_0 + v_0\sin\theta\; t - \tfrac{1}{2}g t^2.
Explicação: a equação de y(t) vem da fórmula geral da posição com aceleração constante: posição inicial + velocidade inicial \times tempo + \tfrac{1}{2} aceleração \times t^2.

Passo 4

Definindo alcance horizontal e encontrando o tempo de voo (caso geral com y_0).
  • Definição operacional: o alcance horizontal é a coordenada x do ponto onde o projétil atinge o solo (ou o nível de referência y=0) pela primeira vez após o lançamento. Em fórmula:
R = x(t_\text{impact}),
onde t_\text{impact} é o tempo positivo em que y(t_\text{impact})=0.
  • Para achar t_\text{impact}, resolvemos a equação
y_0 + v_0\sin\theta\; t - \tfrac{1}{2}g t^2 = 0.
Reescrevendo como equação quadrática em t:
\tfrac{1}{2}g t^2 - v_0\sin\theta\; t - y_0 = 0.
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). A solução física (tempo positivo) é
t_\text{impact} = \frac{v_0\sin\theta + \sqrt{(v_0\sin\theta)^2 + 2 g y_0}}{g}.
Explicação do discriminante: dentro da raiz temos (v_0\sin\theta)^2 + 2 g y_0; é sempre não negativo para as situações físicas usuais (ou indicará que o projétil nunca cruza y=0 se a configuração não fizer sentido).

Passo 5

Expressando o alcance horizontal no caso geral ( y_0 qualquer).
  • Plugando t_\text{impact} em x(t):
R = v_0\cos\theta \cdot t_\text{impact}.
  • Assim, a fórmula geral do alcance (partindo do nível y=y_0 e atingindo y=0) é
R = v_0\cos\theta \cdot \frac{v_0\sin\theta + \sqrt{(v_0\sin\theta)^2 + 2 g y_0}}{g}.
Essa expressão diz quanto o projétil percorre horizontalmente antes de atingir o nível y=0, em termos de v_0, \theta, g e y_0.

Passo 6

Caso especial mais usado em provas: lançamento e aterrissagem no mesmo nível ( y_0=0).
  • Colocando y_0=0 na fórmula do tempo ou resolvendo diretamente:
    a equação y(t)=0 vira
v_0\sin\theta\; t - \tfrac{1}{2}g t^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad t\bigl(v_0\sin\theta - \tfrac{1}{2}g t\bigr)=0.
As soluções são t=0 (lançamento) e
t = \frac{2 v_0\sin\theta}{g}
(tempo de voo até retornar ao mesmo nível).
  • O alcance é então
R = v_0\cos\theta \cdot \frac{2 v_0\sin\theta}{g} = \frac{v_0^2 (2\sin\theta\cos\theta)}{g}.
Usando a identidade trigonométrica 2\sin\theta\cos\theta=\sin 2\theta, obtemos a forma clássica:
\boxed{\,R=\frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}\,}.

Passo 7

Interpretação e propriedades importantes (úteis na prova).
  • Máximo alcance para dado v_0: como |\sin 2\theta|\le 1, o alcance máximo ocorre quando \sin 2\theta = 1, ou seja 2\theta = 90^\circ e \theta = 45^\circ. O alcance máximo é
R_\text{max} = \frac{v_0^2}{g}.
  • Simetria de ângulos: ângulos complementares \theta e 90^\circ-\theta produzem o mesmo alcance, porque \sin 2\theta = \sin[2(90^\circ-\theta)]. Na prática, lançar com \,30^\circ e com \,60^\circ dá o mesmo R, embora as alturas máximas e tempos de voo sejam diferentes.
  • Efeito da altura inicial y_0: se y_0>0 o alcance aumenta (o tempo de queda é maior), e a fórmula geral do Passo 5 mostra isso explicitamente.

Passo 8

Dicas de prova e como aplicar rapidamente essa definição em exercícios:
  • Identifique se o problema tem aterrissagem no mesmo nível. Se sim, memorize e use direto \,R=\dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g}.
  • Se houver altura inicial diferente, use a fórmula do Passo 5 ou resolva a quadrática para t e multiplique por v_0\cos\theta.
  • Em toda conta, deixe claro o sinal e a direção da gravidade (use g>0 como módulo e ponha -g na equação vertical).
  • Para maximizar alcance em prova, derive que \theta=45^\circ ou observe \sin 2\theta\le1.

Resposta

Definição: o alcance horizontal é a distância horizontal percorrida pelo projétil desde o ponto de lançamento até o ponto onde ele atinge o nível de referência y=0, desconsiderando resistência do ar.
Fórmula geral (altura inicial y_0):
R = v_0\cos\theta\cdot\frac{v_0\sin\theta + \sqrt{(v_0\sin\theta)^2 + 2 g y_0}}{g}.
Caso usual (mesmo nível, y_0=0):
R = \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g},
com alcance máximo R_{\text{max}}=\dfrac{v_0^2}{g} ocorrendo em \theta=45^\circ.

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