Considere a substituição trigonométrica
x=4 \tan \theta .
Aplique-a na expressão
\frac{5 x^{2}}{\sqrt{x^{2}+16}}
e obtenha uma expressão em função de \theta da forma
A \sin ^{B}(\theta) \cos ^{C}(\theta)
Determine os valores de A, B e C.

Passo 1

O enunciado dá a substituição trigonométrica x=4\tan\theta e pede para aplicar essa substituição na expressão
\frac{5x^{2}}{\sqrt{x^{2}+16}}
de modo a obter uma expressão em função de \theta da forma
A\sin^{B}(\theta)\cos^{C}(\theta).
Informações relevantes fornecidas:
  • A relação de substituição é x=4\tan\theta.
  • A expressão original é \dfrac{5x^{2}}{\sqrt{x^{2}+16}}.
  • Objetivo: identificar os números A, B e C tais que a expressão se reduza a A\sin^{B}(\theta)\cos^{C}(\theta).
  • Observação sobre domínio: a substituição x=4\tan\theta normalmente toma \theta no intervalo \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr) (ramo principal da \tan), onde \cos\theta>0. Isso será usado quando precisarmos eliminar um valor absoluto vindo da raiz quadrada.

Passo 2

Calcular x^{2} a partir da substituição. Como x=4\tan\theta, temos
x^{2}=(4\tan\theta)^{2}=16\tan^{2}\theta.
Explicação rápida: elevar ao quadrado cada fator; o 4 ao quadrado dá 16, e \tan\theta ao quadrado é \tan^{2}\theta.

Passo 3

Calcular \sqrt{x^{2}+16} substituindo x^{2}=16\tan^{2}\theta:
\sqrt{x^{2}+16}=\sqrt{16\tan^{2}\theta+16}=\sqrt{16(\tan^{2}\theta+1)}.
Agora usar a identidade trigonométrica fundamental \tan^{2}\theta+1=\operatorname{sec}^{2}\theta. Assim
\sqrt{16(\tan^{2}\theta+1)}=\sqrt{16\operatorname{sec}^{2}\theta}.
Ao simplificar a raiz temos \sqrt{16\operatorname{sec}^{2}\theta}=4\sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta}=4|\operatorname{sec}\theta|.
Explicação do valor absoluto: \sqrt{(\operatorname{sec}\theta)^{2}}=|\operatorname{sec}\theta|. Para remover o valor absoluto e ficar com 4\operatorname{sec}\theta devemos garantir que \operatorname{sec}\theta seja não negativa. Escolhemos o ramo principal \theta\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr), onde \cos\theta>0 e portanto \operatorname{sec}\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}>0. Assim, nessa escolha de \theta,
\sqrt{x^{2}+16}=4\operatorname{sec}\theta.

Passo 4

Substituir x^{2}=16\tan^{2}\theta e \sqrt{x^{2}+16}=4\operatorname{sec}\theta na expressão original:
\frac{5x^{2}}{\sqrt{x^{2}+16}}=\frac{5\cdot 16\tan^{2}\theta}{4\operatorname{sec}\theta}.
Fator numérico: 5\cdot 16=80, então
\frac{80\tan^{2}\theta}{4\operatorname{sec}\theta}.
Dividindo 80 por 4 20, portanto
\frac{5x^{2}}{\sqrt{x^{2}+16}}=20\,\frac{\tan^{2}\theta}{\operatorname{sec}\theta}.

Passo 5

Converter \tan e \operatorname{sec} em senos e cossenos para chegar na forma pedida. Lembrando que \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} e \operatorname{sec}\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}, temos
\frac{\tan^{2}\theta}{\operatorname{sec}\theta}=\frac{\left(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)^{2}}{\dfrac{1}{\cos\theta}} =\frac{\dfrac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}}{\dfrac{1}{\cos\theta}} =\dfrac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}\cdot\cos\theta =\frac{\sin^{2}\theta}{\cos\theta}.
Explicando passo a passo: primeiro eleva-se \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} ao quadrado, obtendo \dfrac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}. Dividir por \dfrac{1}{\cos\theta} equivale a multiplicar por \cos\theta, o que cancela um fator de \cos no denominador, sobrando \dfrac{\sin^{2}\theta}{\cos\theta}.
Substituindo de volta no fator 20:
\frac{5x^{2}}{\sqrt{x^{2}+16}}=20\cdot\frac{\sin^{2}\theta}{\cos\theta}.

Passo 6

Escrever na forma A\sin^{B}\theta\cos^{C}\theta. A expressão atual é
20\cdot\frac{\sin^{2}\theta}{\cos\theta}=20\,\sin^{2}\theta\cos^{-1}\theta.
Portanto os expoentes e o coeficiente são:
  • A=20,
  • B=2,
  • C=-1.

Resposta

A=20
B=2
C=-1

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