Considere a substituição trigonométrica
Aplique-a na expressão
e obtenha uma expressão em função de
da forma
Determine os valores de
e
.
Passo 1
O enunciado dá a substituição trigonométrica
e pede para aplicar essa substituição na expressão
de modo a obter uma expressão em função de
da forma
Informações relevantes fornecidas:
- A relação de substituição é
. - A expressão original é
. - Objetivo: identificar os números
, e tais que a expressão se reduza a . - Observação sobre domínio: a substituição
normalmente toma no intervalo (ramo principal da ), onde . Isso será usado quando precisarmos eliminar um valor absoluto vindo da raiz quadrada.
Passo 2
Calcular
a partir da substituição. Como
, temos
Explicação rápida: elevar ao quadrado cada fator; o
ao quadrado dá
, e
ao quadrado é
.
Passo 3
Calcular
substituindo
:
Agora usar a identidade trigonométrica fundamental
. Assim
Ao simplificar a raiz temos
.
Explicação do valor absoluto:
. Para remover o valor absoluto e ficar com
devemos garantir que
seja não negativa. Escolhemos o ramo principal
, onde
e portanto
. Assim, nessa escolha de
,
Passo 4
Substituir
e
na expressão original:
Fator numérico:
, então
Dividindo
por
dá
, portanto
Passo 5
Converter
e
em senos e cossenos para chegar na forma pedida. Lembrando que
e
, temos
Explicando passo a passo: primeiro eleva-se
ao quadrado, obtendo
. Dividir por
equivale a multiplicar por
, o que cancela um fator de
no denominador, sobrando
.
Substituindo de volta no fator
:
Passo 6
Escrever na forma
. A expressão atual é
Portanto os expoentes e o coeficiente são:
-
, -
, -
.