Responda:
Qual o domínio de f(x, y)=raiz4-x^2-y^2+raiz1-x^2 ? Esboce-o.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é a função . A gente precisa descobrir qual é o domínio dessa função, ou seja, para quais valores de e essa função está bem definida. Vamos usar conhecimentos de funções com radicais (raízes quadradas) para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dentro de uma raiz quadrada, o que estiver dentro tem que ser maior ou igual a zero, porque não dá para tirar raiz de número negativo no conjunto dos números reais. Então, temos duas condições aqui:
Vamos resolver essas duas desigualdades separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a segunda desigualdade: 1 - x^2 >= 0 implies x^2 <= 1 implies -1 <= x <= 1 .
Isso significa que:
Então, precisa estar entre -1 e 1.

Passo 4

Agora, vamos para a primeira desigualdade: x^2 + y^2 <= 4 .
Podemos rearranjar isso para:
Essa é a equação de um círculo com raio 2, centrado na origem. Então, os pontos devem estar dentro ou sobre esse círculo.

Passo 5

Mas lembre-se que já estabelecemos que tem que estar entre -1 e 1. Então, a interseção dessas duas condições significa que:
  • está entre -1 e 1.
  • Para cada nesse intervalo, deve satisfazer .
Isso descreve um conjunto de pontos dentro do círculo de raio 2, mas com restrito entre -1 e 1.

Resposta

O domínio de é o conjunto de todos os pontos tais que e . Em outras palavras, é a região dentro do círculo de raio 2 centrado na origem, limitado aos valores de entre -1 e 1.

Exercícios relacionados