Em cada um dos seguintes problemas, calcule a transformada de Laplace ou transformada inversa de Laplace indicada (Pode usar a definição da transformada de Laplace ou algumas das propriedades apresentadas).
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace de 3 sen(2t) cos(t). Vamos usar conteúdos de transformada de Laplace e identidade trigonométrica para reescrever o produto seno · cosseno.
Passo 2
Usamos a identidade trigonométrica:
[\sin a \cos b = \tfrac12\bigl(\sin(a+b)+\sin(a-b)\bigr)].
[\sin a \cos b = \tfrac12\bigl(\sin(a+b)+\sin(a-b)\bigr)].
Passo 3
Aplicando essa identidade com a=2t e b=t:
[\sin(2t)\cos(t)=\tfrac12\bigl(\sin(3t)+\sin(t)\bigr)]. Então
[3\sin(2t)\cos(t)=\tfrac32\bigl(\sin(3t)+\sin(t)\bigr)].
[\sin(2t)\cos(t)=\tfrac12\bigl(\sin(3t)+\sin(t)\bigr)]. Então
[3\sin(2t)\cos(t)=\tfrac32\bigl(\sin(3t)+\sin(t)\bigr)].
Passo 4
Recordando que
e usando linearidade, obtemos:
[\mathscr{L}{3\sin(2t)\cos(t)}=\tfrac32\Bigl(\frac{3}{s2+9}+\frac{1}{s2+1}\Bigr)].
[\mathscr{L}{3\sin(2t)\cos(t)}=\tfrac32\Bigl(\frac{3}{s2+9}+\frac{1}{s2+1}\Bigr)].
Passo 5
Basta então simplificar:
[\tfrac32\cdot\frac{3}{s2+9}=\frac{9}{2(s2+9)}\quade\quad\tfrac32\cdot\frac{1}{s2+1}=\frac{3}{2(s2+1)}].
[\tfrac32\cdot\frac{3}{s2+9}=\frac{9}{2(s2+9)}\quade\quad\tfrac32\cdot\frac{1}{s2+1}=\frac{3}{2(s2+1)}].
Passo 6
Opcionalmente, podemos juntar as frações em:
[\frac{9}{2(s2+9)}+\frac{3}{2(s2+1)}=\frac{6(s2+3)}{(s2+1)(s^2+9)}].
[\frac{9}{2(s2+9)}+\frac{3}{2(s2+1)}=\frac{6(s2+3)}{(s2+1)(s^2+9)}].
Resposta
\displaystyle \frac{9}{2,(s2+9)}+\frac{3}{2,(s2+1)} ;=; \frac{6(s2+3)}{(s2+1)(s^2+9)}