Em cada um dos seguintes problemas, calcule a transformada de Laplace ou transformada inversa de Laplace indicada (Pode usar a definição da transformada de Laplace ou algumas das propriedades apresentadas).
mathscrL^-11(s^2+4)(s-1)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de F(s)=1(s^2+4)(s-1). O assunto aqui é transformar de volta de s-domínio para o domínio do tempo, usando frações parciais e tabelas de transformadas conhecidas ( e^at, cos(omega t), sin(omega t)).

Passo 2

Vamos começar fazendo a decomposição em frações parciais. Como o denominador s^2+4 não se fatora em reais, assumimos
1(s^2+4)(s-1) = As-1 + Bs + Cs^2+4

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s^2+4) obtemos
1 = A(s^2+4) + (Bs + C)(s-1)

Passo 4

Expandindo o lado direito e agrupando potências de s:
1 = A s^2 + 4A + Bs^2 - Bs + Cs - C = (A + B)s^2 + (C - B)s + (4A - C)

Passo 5

Comparando coeficientes de cada potência de s:
  • Para s^2: A + B = 0
  • Para s^1: C - B = 0
  • Termo constante: 4A - C = 1

Passo 6

Resolvendo esse sistema: de A+B=0 vem B=-A; de C-B=0 vem C=B=-A. Substituindo em 4A-C=1 4A-(-A)=1, ou seja 5A=1 e A=tfrac15. Logo B=-tfrac15 e C=-tfrac15.

Passo 7

Substituindo de volta na decomposição:
1(s^2+4)(s-1) = 1/5s-1 + -tfrac15 s - tfrac15s^2+4

Passo 8

E separando o segundo termo:
= 151s-1 - 15ss^2+4 - 151s^2+4

Passo 9

Agora aplicamos a transformada inversa de cada parte usando
  • mathscrL^-11/(s-1) = e^t,
  • mathscrL^-1s/(s^2+omega^2) = cos(omega t),
  • mathscrL^-11/(s^2+omega^2) = tfrac1omegasin(omega t),
    aqui com omega=2. Isso resulta em
f(t)= 15e^t - 15cos(2t) - 15cdot12sin(2t)

Resposta

f(t)=15e^t-15cos(2t)-110sin(2t)

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