Responda:
Encontre as curvas de nível de f(x, y)=1x^2+y^2+1 para k=15 e k=110.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as curvas de nível da função para os valores de e . Curvas de nível são aquelas linhas no plano onde a função mantém um valor constante, no caso, igual a . Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação da função para achar a relação entre e que satisfaz essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar a função ao valor de 1x^2 + y^2 + 1 = k :
x^2 + y^2 + 1 = 1k
Agora, para facilitar, vamos inverter os dois lados da equação:
x^2 + y^2 = 1k - 1
Então, isolando :

Passo 3

Percebemos que a equação representa uma circunferência no plano, centrada na origem. O termo do lado direito da equação ( ) será o quadrado do raio dessa circunferência. Então, para cada valor de , teremos uma circunferência diferente.

Passo 4

Vamos calcular para x^2 + y^2 = 115 - 1 = 5 - 1 = 4 :
x^2 + y^2 = 4
Então, a curva de nível para é:
Isso representa uma circunferência com raio (já que ).

Passo 5

Agora, vamos calcular para x^2 + y^2 = 1110 - 1 = 10 - 1 = 9 :
x^2 + y^2 = 9
Então, a curva de nível para é:
Isso representa uma circunferência com raio (já que ).

Resposta

Para , a curva de nível é a circunferência , e para , a curva de nível é a circunferência .

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