Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas).
Se A é uma matriz e P uma matriz invertível, então \\left(P^{-1} A P\right)^{2}=P^{-1} A^{2} P.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado uma matriz A e uma matriz invertível P, vale a igualdade
\bigl(P^{-1}AP\bigr)^{2}=P^{-1}A^{2}P.
Isso envolve o conteúdo de transformações de similaridade de matrizes e uso da associatividade da multiplicação matricial, além de P\,P^{-1}=I.

Passo 2

Usando associatividade, expandimos o quadrado:
\bigl(P^{-1}AP\bigr)^{2} =(P^{-1}AP)\,(P^{-1}AP) =P^{-1}A\,(P\,P^{-1})\,A\,P =P^{-1}A\,I\,A\,P =P^{-1}A^{2}P.

Resposta

Verdadeiro.

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