Seja A=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -1 & 1\end{array}\right].
a) Calcule A^{2}, A^{3}, \ldots, A^{7}.
b) Quanto é A^{2018} ?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}0 & 1\\[6pt]-1 & 1\end{pmatrix}
e pede as potências A^2,\dots,A^7 e também A^{2018}. O conteúdo principal é cálculo de potências de matriz, para o qual podemos usar multiplicação direta e observar que o polinômio característico de A é
\chi_A(\lambda)=\lambda^2-\lambda+1,
cujas raízes são e^{\pm i\pi/3}. Logo espera–se que A^6=I e que as potências sejam cíclicas de período 6.]

Passo 2

Multiplicamos A por si mesma para obter A^2:
A^2 =\begin{pmatrix}0&1\\\ -1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1\\\ -1&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\cdot0 + 1\cdot(-1) & 0\cdot1 + 1\cdot1\\[4pt] -1\cdot0 + 1\cdot(-1) & -1\cdot1 + 1\cdot1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora calculamos
A^3 = A^2\cdot A =\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix} =-I.
Como ({-I})^2=I, segue que
A^6 = (A^3)^2 = (-I)^2 = I,
confirmando o período 6.]

Passo 4

Usando o fato de A^3=-I e A^6=I, obtemos as potências seguintes:
A^4 = A^3\cdot A = -I\cdot A = -A =\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix},
A^5 = A^4\cdot A = -A\cdot A = -A^2 =\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},
A^6 = I,
A^7 = A^6\cdot A = I\cdot A = A.]

Passo 5

Para A^{2018}, usamos a periodicidade de período 6. Como
2018 \bmod 6 = 2,
temos
A^{2018} = A^2 =\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}.]

Resposta

Para a)
A^2 = \begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix},\quad A^3 = \begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix},\quad A^4 = \begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix},
A^5 = \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\quad A^6 = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\quad A^7 = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}.
Para b)
A^{2018} = \begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}.]

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