Responda os itens abaixo:
Enuncie o Teste da Raiz para convergência de séries.

Passo 1

Neste primeiro passo, vamos resumir o enunciado: a questão pede para enunciar o Teste da Raiz, que é um critério usado para verificar a convergência absoluta de séries numéricas. Para isso, vamos precisar do conceito de limite superior de uma sequência e da raiz n-ésima dos termos.

Passo 2

Precisamos entender o conceito de limite superior (limsup) de uma sequência real. Em linhas gerais, o limsup é o menor valor que aparece como limite de alguma subsequência; aplicaremos isso à sequência formada pelas raízes n-ésimas dos módulos dos termos.

Passo 3

Definimos a quantidade
L = limsupn to infty l|anr|^1/n
Quando a sequência |an|^1/n possui limite, esse limite coincide com o limsup.

Passo 4

Com essa definição em mãos, basta comparar o valor de L com 1 para decidir sobre a convergência absoluta da série.

Resposta

Seja a série sumn=1^infty an de termos reais ou complexos. Definindo
L = limsupn to infty l|anr|^1/n,
o Teste da Raiz afirma:
  • Se L < 1, a série converge absolutamente (logo, converge).
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo, e não se pode afirmar convergência nem divergência com base apenas nele.

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