Responda os itens abaixo:
x(k)=lk(58)^k, k >= 0 0, k<0 encontre X(z)
Para uma x(k) semi-infinita positiva sua Transformada z vale
& X(z)=zz-1 Se x1(k)=x(k-1) e x2(k)=x(k+1) encontre X1(z) e & X2(z)

Passo 1

O enunciado pede a transformada unilateral de Z de
x(k)= kl(tfrac58r)^k,&k>=0, 0,&k<0,
usando
X(z)=sumk=0^inftyx(k),z^-k,
e em seguida aplicar as propriedades de deslocamento no tempo para
x1(k)=x(k-1) e x2(k)=x(k+1).

Passo 2

Calculemos
X(z) =sumk=0^inftyk!(tfrac58)^kz^-k =sumk=0^inftyk,r^k,
onde r=(5/8)z^-1. Sabemos que
sumk=0^infty k,r^k=r(1-r)^2, |r|<1
Substituindo r=(5/8)z^-1 obtemos
X(z) =tfrac58z^-1l(1-tfrac58z^-1r)^2 =tfrac58,z^-1l(tfracz-tfrac58zr)^2 =tfrac58,zl(z-tfrac58r)^2
A região de convergência é lvert zrvert>5/8.

Passo 3

Aplicando deslocamentos no tempo:
  1. Para x1(k)=x(k-1), como x(n)=0 para n<0, vale
X1(z) =sumk=0^inftyx(k-1),z^-k =z^-1sumn=0^inftyx(n),z^-n =z^-1X(z)
  1. Para x2(k)=x(k+1) fazemos a mudança de índice n=k+1:
X2(z) =sumk=0^inftyx(k+1),z^-k =sumn=1^inftyx(n),z^-n+1 =zsumn=1^inftyx(n),z^-n =zl(X(z)-x(0)r)
Como x(0)=0, segue
X2(z)=z,X(z)

Resposta

X(z)=tfrac58,zl(z-tfrac58r)^2, |z|>tfrac58,
X1(z)=z^-1X(z),
X2(z)=z,X(z)

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