Um circuito com resistência e capacitor, inicialmente descarregado, é ligado a uma bateria de força eletromotriz constante. Para certos valores nominais dos componentes do circuito, pode-se mostrar que a carga do capacitor 0 \leq Q(t)<10, em função do tempo t \geq 0, satisfaz a equação:
(*) \frac{Q^{\prime}(t)}{10-Q(t)}=2
a) Use uma substituição conveniente e integre \frac{Q^{\prime}(t)}{10-Q(t)} com respeito ao tempo.
Resposta: -\ln (10-Q(t)).
b) Integre a equação (*) acima e determine Q(t) em função de uma constante arbitrária de integração.
Resposta: Q(t)=10-K e^{-2 t}.
c) Sabendo que o capacitor está inicialmente descarregado, determine a constante arbitrária do item acima. Em seguida, calcule a carga do capacitor após um longo período de tempo.
Resposta: K=10, Q(t)=10\left(1-e^{-2 t}\right) e a carga final é 10 .

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial separável para a carga Q(t) do capacitor, com
\frac{Q'(t)}{10 - Q(t)} = 2.
O conteúdo é ODE separável. Vamos precisar reconhecer a substituição u = 10 - Q(t) para integrar o lado esquerdo e depois aplicar condição inicial.

Passo 2

Para integrar o termo da esquerda, fazemos a substituição
u = 10 - Q(t).
Então
\frac{du}{dt} = -Q'(t) \quad\Longrightarrow\quad Q'(t)\,dt = -\,du.
Logo,
\int \frac{Q'(t)}{10 - Q(t)}\,dt = \int \frac{-\,du}{u} = -\int \frac{du}{u} = -\ln\bigl|u\bigr| = -\ln\bigl(10 - Q(t)\bigr).

Passo 3

Integramos agora os dois lados da equação original:
\int \frac{Q'(t)}{10 - Q(t)}\,dt = \int 2\,dt.
Substituindo o resultado do passo anterior, obtemos
-\ln\bigl(10 - Q(t)\bigr) = 2t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Resolvendo para Q(t), temos
\ln\bigl(10 - Q(t)\bigr) = -2t - C \quad\Longrightarrow\quad 10 - Q(t) = e^{-2t - C} = K e^{-2t},
onde K = e^{-C}. Portanto,
Q(t) = 10 - K\,e^{-2t}.

Passo 5

Usamos a condição inicial: o capacitor está descarregado em t=0, isto é Q(0)=0. Substituindo em Q(t)=10 - K e^{-2t}
0 = 10 - K\cdot e^{0} \quad\Longrightarrow\quad K = 10.
Assim,
Q(t) = 10\bigl(1 - e^{-2t}\bigr).

Passo 6

Para um longo período de tempo t\to\infty, o termo e^{-2t}\to 0. Logo a carga final é
Q(\infty) = 10\bigl(1 - 0\bigr) = 10.

Resposta

a) -\ln\bigl(10 - Q(t)\bigr).
b) Q(t)=10 - K\,e^{-2t}.
c) K=10,\;Q(t)=10\bigl(1 - e^{-2t}\bigr) e carga final Q(\infty)=10.

Exercícios relacionados