Um circuito com resistência e capacitor, inicialmente descarregado, é ligado a uma bateria de força eletromotriz constante. Para certos valores nominais dos componentes do circuito, pode-se mostrar que a carga do capacitor 0 \leq Q(t)<10, em função do tempo t \geq 0, satisfaz a equação:
(*) \frac{Q^{\prime}(t)}{10-Q(t)}=2
a) Use uma substituição conveniente e integre \frac{Q^{\prime}(t)}{10-Q(t)} com respeito ao tempo.
Resposta: -\ln (10-Q(t)).
b) Integre a equação (*) acima e determine Q(t) em função de uma constante arbitrária de integração.
Resposta: Q(t)=10-K e^{-2 t}.
c) Sabendo que o capacitor está inicialmente descarregado, determine a constante arbitrária do item acima. Em seguida, calcule a carga do capacitor após um longo período de tempo.
Resposta: K=10, Q(t)=10\left(1-e^{-2 t}\right) e a carga final é 10 .
Passo 1
O enunciado nos dá uma equação diferencial separável para a carga Q(t) do capacitor, com
\frac{Q'(t)}{10 - Q(t)} = 2.
O conteúdo é ODE separável. Vamos precisar reconhecer a substituição u = 10 - Q(t) para integrar o lado esquerdo e depois aplicar condição inicial.
Passo 2
Para integrar o termo da esquerda, fazemos a substituição