Modele e resolva os problemas abaixo.
Uma caixa dágua cilíndrica de
de base está provida de um orifício de
de seção praticado na parede lateral. A água escoa com uma velocidade
, onde
e
é a altura do nível da água acima do orifício em metros. Quanto tempo levará para que o nível da água baixe de 4 m a 1 m ?
Uma caixa dágua cilíndrica de
Passo 1
O enunciado descreve uma caixa d’água cilíndrica com área da base de 70 dm² e um orifício lateral de 5 cm². A água escapa segundo a lei de Torricelli, com velocidade
. Queremos achar o tempo para o nível
descer de 4 m a 1 m; para isso vamos usar uma equação diferencial aplicando conservação de volume e o teorema de Torricelli.
Passo 2
Convertendo unidades para o SI, obtemos a área da base
e a seção do orifício
:
O fluxo volumétrico de saída é
.
Passo 3
O volume de água na caixa é
. Diferenciando no tempo e igualando ao fluxo de saída, temos:
Essa é nossa equação diferencial governando
.
Passo 4
Separamos variáveis para integrar de
até
e de
até
:
Integrando,
Passo 5
Substituindo
,
e
na fórmula:
Em minutos, dá cerca de
min.