Modele e resolva os problemas abaixo.
Uma caixa dágua cilíndrica de 70 dm^2 de base está provida de um orifício de 5 cm^2 de seção praticado na parede lateral. A água escoa com uma velocidade v=raiz2 g h, onde g=9.8 m / s^2 e h é a altura do nível da água acima do orifício em metros. Quanto tempo levará para que o nível da água baixe de 4 m a 1 m ?

Passo 1

O enunciado descreve uma caixa d’água cilíndrica com área da base de 70 dm² e um orifício lateral de 5 cm². A água escapa segundo a lei de Torricelli, com velocidade v=raiz2gh. Queremos achar o tempo para o nível H descer de 4 m a 1 m; para isso vamos usar uma equação diferencial aplicando conservação de volume e o teorema de Torricelli.

Passo 2

Convertendo unidades para o SI, obtemos a área da base A e a seção do orifício a:
A = 70 dm^2 = 70times10^-2 m^2 = 0,7 m^2,
a = 5 cm^2 = 5times10^-4 m^2 = 0,0005 m^2
O fluxo volumétrico de saída é Q = a,v = araiz2gH.

Passo 3

O volume de água na caixa é V = A,H. Diferenciando no tempo e igualando ao fluxo de saída, temos:
dVdt = AdHdt = -Q = -araiz2gH
Essa é nossa equação diferencial governando H(t).

Passo 4

Separamos variáveis para integrar de H(0)=4 até H(T)=1 e de t=0 até t=T:
AdHdt = -araiz2gH Longrightarrow dHraizH = -aAraiz2g,dt
Integrando,
integral4^1H^-1/2,dH = -aAraiz2gintegral0^Tdt
2l(raiz1-raiz4r) = -aAraiz2g,T Longrightarrow T = 2Aaraiz2gl(raiz4-raiz1r)

Passo 5

Substituindo A=0,7 m^2, a=0,0005 m^2 e g=9,8 m/s^2 na fórmula:
T = 2times0,70,0005raiz2times9,8(2-1) = 1,40,0005raiz19,6 approx 632,6 s
Em minutos, dá cerca de 10,5 min.

Passo 6

Resposta

T approx 633 s (aproximadamente 10,5 min).

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