Consideremos as operações
, definidas,
, por:
Mostre que (
) é um corpo.
Passo 1
O enunciado dá as operações em
definidas, para quaisquer
, por
O que se pede: provar que
é um corpo. Para isso, preciso verificar — explicitamente — as propriedades que definem um corpo:
-
é um grupo abeliano (fechado, associativo, com elemento neutro e inversos, e comutativo). -
é fechada, associativa e comutativa; existe elemento neutro multiplicativo; todo elemento diferente de tem inverso multiplicativo; finalmente é distributiva em relação a .
Também é necessário que o neutro aditivo e o neutro multiplicativo sejam distintos (isto é,).
Passo 2
Verificando que
é um grupo abeliano.
Definição curta: um conjunto com uma operação é um grupo abeliano se a operação for fechada, associativa, comutativa, tiver elemento neutro e todo elemento tiver inverso.
-
Fechamento: para
tem-se . Como e são reais, . Logo fechado. -
Associatividade: verificar que
para . Calculando:
Os dois resultados coincidem, logo
é associativa.
- Elemento neutro aditivo: o par
satisfaz
portanto
é o neutro aditivo.
- Inverso aditivo: para
o inverso é , pois
- Comutatividade:
.
Portanto
é um grupo abeliano.
Passo 3
Idéia estratégica (mini-aula sobre isomorfismo): em álgebra, se existe uma bijeção que preserva adição e multiplicação entre dois sistemas algébricos, dizemos que são isomorfos; propriedades algébricas (como ser corpo) são preservadas por isomorfismos. Vou construir uma aplicação natural com esse propósito.
Defina
por
onde
é o corpo dos números complexos e
é a unidade imaginária. Vou mostrar que
é um isomorfismo de estruturas que leva
em
e
em
.
Passo 4
Verificar que
preserva operações (homomorfismo).
- Soma:
Por outro lado
Logo
.
- Produto:
E
Logo
.
Portanto
é um homomorfismo que envia
para a soma usual em
e
para o produto usual em
.
Passo 5
Verificar que
é bijetora (mini-aula sobre bijetividade).
-
Injetividade: se
então . Igualando partes reais e imaginárias vem e . Logo . Então é injetiva. -
Sobretividade: para qualquer
existe com , portanto . Logo é sobrejetiva.
Assim
é bijeção e, somando com o fato de ser homomorfismo,
é um isomorfismo de anéis (e de corpos, quando aplicável).
Passo 6
Conclusão via isomorfismo (mini-aula sobre consequência): como
é um corpo (já conhecido: é o corpo dos números complexos, onde soma e produto usuais satisfazem todas as axiomas de corpo), e
é um isomorfismo que preserva soma e produto, todas as propriedades que definem um corpo são transportadas para
. Em particular:
- existe elemento neutro multiplicativo que corresponde a
: , então é neutro multiplicativo, porque para todo ,
-
é o neutro aditivo e claramente . - todo elemento
tem inverso multiplicativo, pois seu correspondente (não nulo) tem inverso , e puxando de volta por obtemos o inverso em .
Passo 7
Cálculo explícito do inverso multiplicativo (para fixar a técnica; muito usado em prova).
Queremos
tal que
Usando a definição de
obtemos o sistema
Resolver para
. Da segunda equação
. Se
não há solução — esse é o caso nulo; agora suponha
. Podemos resolver por eliminação: multiplicando a segunda equação por
e a primeira por
e somando (ou usar a técnica padrão), obtemos
isto é
portanto
Análogomente, multiplicando a primeira por
e subtraindo a segunda vezes
(ou simplesmente usar simetria) obtemos
Logo, para
o inverso multiplicativo é
e de fato uma verificação direta com a regra de
mostra que o produto dá
. Esse cálculo coincide com o que vem de inverter
em
.
Passo 8
Distributividade: como
é homomorfismo que preserva soma e produto, para quaisquer
,
Aplicando
conclui-se
Portanto a distributividade vale. (Também poderia ser verificada por conta, expandindo as componentes.)
Passo 9
Juntando tudo: já provamos que
é grupo abeliano, que
é fechada, associativa e comutativa (porque corresponde ao produto em
), existe neutro multiplicativo
, todo elemento não nulo tem inverso explícito e
é distributiva sobre
. Além disso
. Assim todas as axiomas de corpo são satisfeitas.