Consideremos as operações \oplus \mathrm{e} \otimes \mathrm{em} R \times R, definidas, \forall a, b, c, d \in R, por:
(a, b) \oplus(c, d)=(a+c, b+d) \quad \text { e } \quad(a, b) \otimes(c, d)=(a c-b d, a d+b c)
Mostre que ( R \times R, \oplus, \otimes ) é um corpo.

Passo 1

O enunciado dá as operações em \mathbb{R}\times\mathbb{R} definidas, para quaisquer a,b,c,d\in\mathbb{R}, por
(a,b)\oplus(c,d)=(a+c,\;b+d) \qquad\text{e}\qquad (a,b)\otimes(c,d)=(ac-bd,\;ad+bc).
O que se pede: provar que (\mathbb{R}\times\mathbb{R},\oplus,\otimes) é um corpo. Para isso, preciso verificar — explicitamente — as propriedades que definem um corpo:
  1. (\mathbb{R}\times\mathbb{R},\oplus) é um grupo abeliano (fechado, associativo, com elemento neutro e inversos, e comutativo).
  2. \otimes é fechada, associativa e comutativa; existe elemento neutro multiplicativo; todo elemento diferente de (0,0) tem inverso multiplicativo; finalmente \otimes é distributiva em relação a \oplus.
    Também é necessário que o neutro aditivo e o neutro multiplicativo sejam distintos (isto é, (1,0)\neq(0,0)).

Passo 2

Verificando que (\mathbb{R}\times\mathbb{R},\oplus) é um grupo abeliano.
Definição curta: um conjunto com uma operação é um grupo abeliano se a operação for fechada, associativa, comutativa, tiver elemento neutro e todo elemento tiver inverso.
  • Fechamento: para (a,b),(c,d)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R} tem-se (a,b)\oplus(c,d)=(a+c,b+d). Como a+c e b+d são reais, (a+c,b+d)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}. Logo fechado.
  • Associatividade: verificar que (x\oplus y)\oplus z = x\oplus(y\oplus z) para x=(a,b),y=(c,d),z=(e,f). Calculando:
(x\oplus y)\oplus z = (a+c,\;b+d)\oplus(e,f) = (a+c+e,\;b+d+f),
x\oplus(y\oplus z) = (a,b)\oplus(c+e,\;d+f) = (a+c+e,\;b+d+f).
Os dois resultados coincidem, logo \oplus é associativa.
  • Elemento neutro aditivo: o par (0,0) satisfaz
(a,b)\oplus(0,0)=(a+0,\;b+0)=(a,b),
portanto (0,0) é o neutro aditivo.
  • Inverso aditivo: para (a,b) o inverso é (-a,-b), pois
(a,b)\oplus(-a,-b)=(a-a,\;b-b)=(0,0).
  • Comutatividade: (a,b)\oplus(c,d)=(a+c,b+d)=(c+a,d+b)=(c,d)\oplus(a,b).
Portanto (\mathbb{R}\times\mathbb{R},\oplus) é um grupo abeliano.

Passo 3

Idéia estratégica (mini-aula sobre isomorfismo): em álgebra, se existe uma bijeção que preserva adição e multiplicação entre dois sistemas algébricos, dizemos que são isomorfos; propriedades algébricas (como ser corpo) são preservadas por isomorfismos. Vou construir uma aplicação natural com esse propósito.
Defina \varphi:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{C} por
\varphi(a,b)=a+bi,
onde \mathbb{C} é o corpo dos números complexos e i é a unidade imaginária. Vou mostrar que \varphi é um isomorfismo de estruturas que leva \oplus em + e \otimes em \cdot.

Passo 4

Verificar que \varphi preserva operações (homomorfismo).
  • Soma:
\varphi\big((a,b)\oplus(c,d)\big)=\varphi(a+c,\;b+d)=(a+c)+(b+d)i.
Por outro lado
\varphi(a,b)+\varphi(c,d)=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
Logo \varphi\big((a,b)\oplus(c,d)\big)=\varphi(a,b)+\varphi(c,d).
  • Produto:
\varphi\big((a,b)\otimes(c,d)\big)=\varphi(ac-bd,\;ad+bc)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
E
\varphi(a,b)\cdot\varphi(c,d)=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=ac-bd+(ad+bc)i.
Logo \varphi\big((a,b)\otimes(c,d)\big)=\varphi(a,b)\cdot\varphi(c,d).
Portanto \varphi é um homomorfismo que envia \oplus para a soma usual em \mathbb{C} e \otimes para o produto usual em \mathbb{C}.

Passo 5

Verificar que \varphi é bijetora (mini-aula sobre bijetividade).
  • Injetividade: se \varphi(a,b)=\varphi(c,d) então a+bi=c+di. Igualando partes reais e imaginárias vem a=c e b=d. Logo (a,b)=(c,d). Então \varphi é injetiva.
  • Sobretividade: para qualquer z\in\mathbb{C} existe a,b\in\mathbb{R} com z=a+bi, portanto z=\varphi(a,b). Logo \varphi é sobrejetiva.
Assim \varphi é bijeção e, somando com o fato de ser homomorfismo, \varphi é um isomorfismo de anéis (e de corpos, quando aplicável).

Passo 6

Conclusão via isomorfismo (mini-aula sobre consequência): como \mathbb{C} é um corpo (já conhecido: é o corpo dos números complexos, onde soma e produto usuais satisfazem todas as axiomas de corpo), e \varphi é um isomorfismo que preserva soma e produto, todas as propriedades que definem um corpo são transportadas para (\mathbb{R}\times\mathbb{R},\oplus,\otimes). Em particular:
  • existe elemento neutro multiplicativo que corresponde a 1\in\mathbb{C}: \varphi(1,0)=1, então (1,0) é neutro multiplicativo, porque para todo (a,b),
(1,0)\otimes(a,b)=(1\cdot a-0\cdot b,\;1\cdot b+0\cdot a)=(a,b).
  • (0,0) é o neutro aditivo e claramente (1,0)\neq(0,0).
  • todo elemento (a,b)\neq(0,0) tem inverso multiplicativo, pois seu correspondente a+bi\in\mathbb{C} (não nulo) tem inverso \dfrac{1}{a+bi}=\dfrac{a-bi}{a^2+b^2}, e puxando de volta por \varphi^{-1} obtemos o inverso em \mathbb{R}\times\mathbb{R}.

Passo 7

Cálculo explícito do inverso multiplicativo (para fixar a técnica; muito usado em prova).
Queremos (x,y) tal que
(a,b)\otimes(x,y)=(1,0).
Usando a definição de \otimes obtemos o sistema
ax - by = 1, \qquad ay + bx = 0.
Resolver para x,y. Da segunda equação ay = -bx. Se a=b=0 não há solução — esse é o caso nulo; agora suponha (a,b)\neq(0,0). Podemos resolver por eliminação: multiplicando a segunda equação por b e a primeira por a e somando (ou usar a técnica padrão), obtemos
a(ax - by) + b(ay + bx) = a\cdot 1 + b\cdot 0,
isto é
a^2 x - a b y + a b y + b^2 x = a,
portanto
(a^2+b^2)x = a \quad\Rightarrow\quad x=\frac{a}{a^2+b^2}.
Análogomente, multiplicando a primeira por b e subtraindo a segunda vezes a (ou simplesmente usar simetria) obtemos
(a^2+b^2)y = -b \quad\Rightarrow\quad y=-\frac{b}{a^2+b^2}.
Logo, para (a,b)\neq(0,0) o inverso multiplicativo é
\bigg(\frac{a}{a^2+b^2},\; -\frac{b}{a^2+b^2}\bigg),
e de fato uma verificação direta com a regra de \otimes mostra que o produto dá (1,0). Esse cálculo coincide com o que vem de inverter a+bi em \mathbb{C}.

Passo 8

Distributividade: como \varphi é homomorfismo que preserva soma e produto, para quaisquer x,y,z\in\mathbb{R}\times\mathbb{R},
\varphi\big(x\otimes(y\oplus z)\big)=\varphi(x)\cdot\big(\varphi(y)+\varphi(z)\big) =\varphi(x)\cdot\varphi(y)+\varphi(x)\cdot\varphi(z) =\varphi(x\otimes y)\oplus\varphi(x\otimes z).
Aplicando \varphi^{-1} conclui-se
x\otimes(y\oplus z)=(x\otimes y)\oplus(x\otimes z).
Portanto a distributividade vale. (Também poderia ser verificada por conta, expandindo as componentes.)

Passo 9

Juntando tudo: já provamos que (\mathbb{R}\times\mathbb{R},\oplus) é grupo abeliano, que \otimes é fechada, associativa e comutativa (porque corresponde ao produto em \mathbb{C}), existe neutro multiplicativo (1,0), todo elemento não nulo tem inverso explícito e \otimes é distributiva sobre \oplus. Além disso (1,0)\neq(0,0). Assim todas as axiomas de corpo são satisfeitas.

Resposta

(\mathbb{R}\times\mathbb{R},\oplus,\otimes) é um corpo (é isomorfo ao corpo \mathbb{C} dos números complexos).

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