Seja
um grupo finito. Prove que, se a ordem de
for um número primo, então
é cíclico. Além disso, sabendo que
, descreva todos os subgrupos de
.
Passo 1
O enunciado dá um grupo finito
cuja ordem é um número primo. As perguntas são:
- Provar que, se a ordem de
for um primo, então é cíclico. - Sabendo que
, descrever todos os subgrupos de .
Informações relevantes fornecidas:
-
é um número primo (vou chamar esse primo de ). - No caso particular,
.
Passo 2
Vamos fixar algumas definições e conceitos que usaremos (explicados de forma bem concreta).
- Ordem de um grupo: por
entende-se o número de elementos de . - Ordem de um elemento: para
, a ordem de (denotada ) é o menor inteiro positivo tal que , onde é o elemento neutro. Se não existir tal , diz-se que tem ordem infinita (não acontece aqui porque é finito). - Subgrupo gerado por um elemento:
é o conjunto onde . Este é um subgrupo de e tem exatamente elementos.
Esses conceitos são básicos e vão permitir ligar propriedades de elementos com o tamanho de subgrupos.
Passo 3
Enunciado e uso do teorema de Lagrange (explicado):
Teorema de Lagrange (forma usada): se é um subgrupo finito de
, então
divide
. Em notação,
Teorema de Lagrange (forma usada): se
onde
é o número de classes laterais (índice) de
em
.
Breve prova intuitiva do porquê isso vale (passo a passo):
- Para qualquer subgrupo
, considere as classes laterais à esquerda para . - Duas classes laterais são iguais ou disjuntas, e cada classe lateral tem exatamente
elementos (a aplicação é bijetiva). - As classes laterais particionam
, então somando o tamanho das classes laterais obtemos . - Logo
divide .
Esse é o argumento padrão e é curto: partição por classes laterais e todas têm o mesmo tamanho.
Passo 4
Aplicação ao subgrupo gerado por um elemento não-trivial:
Escolha um elemento com
(existe, a menos que
, o que não é o caso quando
é um primo
). Considere o subgrupo
. Pela definição,
. Pelo teorema de Lagrange,
divide
. Os divisores de um primo
são apenas
e
. Como
, tem-se
, então necessariamente
. Portanto
Escolha um elemento
Um subgrupo com o mesmo número de elementos que
só pode ser
inteiro, isto é,
. Assim
é um gerador de
.
Passo 5
Conclusão geral (primeira pergunta):
Como qualquer elemento gera
, o grupo
é cíclico. Em outras palavras, se
é primo então existe
tal que
Como qualquer elemento
Comentário extra útil para a prova: isso também implica que todo elemento diferente de
tem ordem
e, portanto, gera
.
Passo 6
Aplicação ao caso
(segunda pergunta):
Como é primo, pelo que já provamos
é cíclico. Os possíveis tamanhos de subgrupos devem dividir
(pela Lagrange), então os divisores são apenas
e
. Portanto os únicos subgrupos possíveis são o subgrupo de ordem
, que é o subgrupo trivial
, e o subgrupo de ordem
, que é o próprio
. Outra observação prática: todo elemento
tem ordem
e gera
; há exatamente
geradores distintos.
Como