Seja G um grupo finito. Prove que, se a ordem de G for um número primo, então G é cíclico. Além disso, sabendo que O(G)=11, descreva todos os subgrupos de G.

Passo 1

O enunciado dá um grupo finito G cuja ordem é um número primo. As perguntas são:
  • Provar que, se a ordem de G for um primo, então G é cíclico.
  • Sabendo que |G|=11, descrever todos os subgrupos de G.
Informações relevantes fornecidas:
  • |G| é um número primo (vou chamar esse primo de p).
  • No caso particular, |G|=11.

Passo 2

Vamos fixar algumas definições e conceitos que usaremos (explicados de forma bem concreta).
  • Ordem de um grupo: por |G| entende-se o número de elementos de G.
  • Ordem de um elemento: para a\in G, a ordem de a (denotada \mathrm{ord}(a)) é o menor inteiro positivo n tal que a^n=e, onde e é o elemento neutro. Se não existir tal n, diz-se que a tem ordem infinita (não acontece aqui porque G é finito).
  • Subgrupo gerado por um elemento: \langle a\rangle é o conjunto \{e,a,a^2,\dots,a^{n-1}\} onde n=\mathrm{ord}(a). Este \langle a\rangle é um subgrupo de G e tem exatamente \mathrm{ord}(a) elementos.
    Esses conceitos são básicos e vão permitir ligar propriedades de elementos com o tamanho de subgrupos.

Passo 3

Enunciado e uso do teorema de Lagrange (explicado):
Teorema de Lagrange (forma usada): se H é um subgrupo finito de G, então \mathrm{ord}(H) divide \mathrm{ord}(G). Em notação,
|G| = [G:H]\cdot |H|,
onde [G:H] é o número de classes laterais (índice) de H em G.
Breve prova intuitiva do porquê isso vale (passo a passo):
  • Para qualquer subgrupo H, considere as classes laterais à esquerda gH=\{gh: h\in H\} para g\in G.
  • Duas classes laterais são iguais ou disjuntas, e cada classe lateral tem exatamente |H| elementos (a aplicação h\mapsto gh é bijetiva).
  • As classes laterais particionam G, então somando o tamanho das classes laterais obtemos |G|=[G:H]\cdot|H|.
  • Logo |H| divide |G|.
    Esse é o argumento padrão e é curto: partição por classes laterais e todas têm o mesmo tamanho.

Passo 4

Aplicação ao subgrupo gerado por um elemento não-trivial:
Escolha um elemento a\in G com a\neq e (existe, a menos que |G|=1, o que não é o caso quando |G| é um primo p\ge2). Considere o subgrupo \langle a\rangle. Pela definição, |\langle a\rangle|=\mathrm{ord}(a). Pelo teorema de Lagrange, \mathrm{ord}(a) divide |G|=p. Os divisores de um primo p são apenas 1 e p. Como a\neq e, tem-se \mathrm{ord}(a)>1, então necessariamente \mathrm{ord}(a)=p. Portanto
|\langle a\rangle|=p=|G|.
Um subgrupo com o mesmo número de elementos que G só pode ser G inteiro, isto é, \langle a\rangle=G. Assim a é um gerador de G.

Passo 5

Conclusão geral (primeira pergunta):
Como qualquer elemento a\neq e gera G, o grupo G é cíclico. Em outras palavras, se |G| é primo então existe a\in G tal que
G=\langle a\rangle=\{e,a,a^2,\dots,a^{p-1}\}.
Comentário extra útil para a prova: isso também implica que todo elemento diferente de e tem ordem p e, portanto, gera G.

Passo 6

Aplicação ao caso |G|=11 (segunda pergunta):
Como 11 é primo, pelo que já provamos G é cíclico. Os possíveis tamanhos de subgrupos devem dividir 11 (pela Lagrange), então os divisores são apenas 1 e 11. Portanto os únicos subgrupos possíveis são o subgrupo de ordem 1, que é o subgrupo trivial \{e\}, e o subgrupo de ordem 11, que é o próprio G. Outra observação prática: todo elemento a\neq e tem ordem 11 e gera G; há exatamente 11-1=10 geradores distintos.

Resposta

G é cíclico.\nOs subgrupos de G são \{e\} e G.

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