Utilizando as propriedades aritméticas do limite de sequências, calcule os seguintes limites:
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}}\right).

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_n = \frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}},
quando n\to+\infty. O conteúdo aqui é limite de sequência e vamos usar as propriedades aritméticas de limite e a fórmula da soma dos primeiros n números naturais.

Passo 2

Observe que
a_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^{2}}
e, por distributividade da soma em relação ao fator comum,
a_n = \frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}k.

Passo 3

Sabemos que a soma dos primeiros n inteiros é
\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}.

Passo 4

Substituindo na expressão de a_n, obtemos
a_n = \frac{1}{n^{2}}\cdot\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2\,n^{2}} = \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n}.

Passo 5

Aplicando o limite em ambos os lados e usando que \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n}=0, temos
\lim_{n\to\infty}a_n = \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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