Utilizando a definição de limite de sequências, mostre que \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{3 n^{2}+4 n}{n^{2}+n-4}=3.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição formal de limite de sequência, que
\lim_{n\to+\infty}\frac{3n^{2}+4n}{n^{2}+n-4}=3.
Aqui o que vamos usar é a definição: uma sequência (a_{n}) converge a L se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que, para todo n\ge N, \lvert a_{n}-L\rvert<\varepsilon.

Passo 2

Definimos
a_{n} = \frac{3n^{2}+4n}{n^{2}+n-4}
e calculamos a diferença em módulo em relação a 3:
\left\lvert a_{n}-3\right\rvert = \left\lvert \frac{3n^{2}+4n}{n^{2}+n-4} - 3 \right\rvert = \left\lvert \frac{3n^{2}+4n - 3(n^{2}+n-4)}{n^{2}+n-4} \right\rvert = \left\lvert \frac{n+12}{n^{2}+n-4} \right\rvert.

Passo 3

Para controlar esse quociente, observamos que, se n\ge4, então
n^{2}+n-4 \;\ge\; n^{2},
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\left\lvert a_{n}-3\right\rvert = \frac{n+12}{n^{2}+n-4} \;\le\;\frac{n+12}{n^{2}} = \frac{1}{n} + \frac{12}{n^{2}} \;\le\;\frac{1}{n} + \frac{12}{n} = \frac{13}{n}.

Passo 4

Seja agora qualquer \varepsilon>0. Para garantir
\left\lvert a_{n}-3\right\rvert<\varepsilon
basta pedir
\frac{13}{n}<\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad n>\frac{13}{\varepsilon}.
Definimos então
N = \max\Bigl\{4,\;\bigl\lceil\tfrac{13}{\varepsilon}\bigr\rceil\Bigr\}.
Para todo n\ge N temos n\ge4 e n>\tfrac{13}{\varepsilon}, o que implica
\left\lvert a_{n}-3\right\rvert\le \frac{13}{n}\le\frac{13}{N}\le\varepsilon.
Isso mostra que, pela definição de limite,
\lim_{n\to+\infty}\frac{3n^{2}+4n}{n^{2}+n-4}=3.

Resposta

\lim_{n\to+\infty}\frac{3n^{2}+4n}{n^{2}+n-4}=3.

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