Seja \delta(x, y, z) a função de densidade de massa de um fio no ponto ( x, y, z ).
(a) Explique como podemos calcular o centro de massa do fio descrito pela função vetorial dada por \mathbf{r}(t)=x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j}+z(t) \mathbf{k}, \operatorname{com} t \in[a, b].
(b) Calcule o centro de massa do fio dado por \mathbf{r}(t)=\left(t^{2}-1\right) \mathbf{j}+2 t \mathbf{k}, com t \in[-1,1] e \delta=15 \sqrt{y+2}.
Passo 1
O enunciado pede o centro de massa de um fio no espaço com densidade \delta(x,y,z) parametricamente descrito por
O conteúdo é momento de inércia linear e integrais de linha ponderadas por densidade. Vamos usar que cada pedaço de massa é dm=\delta(x,y,z)\,ds, onde ds=|\mathbf{r}'(t)|\,dt.