Seja \delta(x, y, z) a função de densidade de massa de um fio no ponto ( x, y, z ).
(a) Explique como podemos calcular o centro de massa do fio descrito pela função vetorial dada por \mathbf{r}(t)=x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j}+z(t) \mathbf{k}, \operatorname{com} t \in[a, b].
(b) Calcule o centro de massa do fio dado por \mathbf{r}(t)=\left(t^{2}-1\right) \mathbf{j}+2 t \mathbf{k}, com t \in[-1,1] e \delta=15 \sqrt{y+2}.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de um fio no espaço com densidade \delta(x,y,z) parametricamente descrito por
\mathbf{r}(t)=x(t)\,\mathbf{i}+y(t)\,\mathbf{j}+z(t)\,\mathbf{k},\quad t\in[a,b].
O conteúdo é momento de inércia linear e integrais de linha ponderadas por densidade. Vamos usar que cada pedaço de massa é dm=\delta(x,y,z)\,ds, onde ds=|\mathbf{r}'(t)|\,dt.

Passo 2

De modo geral, o total de massa é
M=\int_a^b \delta\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\,\bigl|\mathbf{r}'(t)\bigr|\,dt,
e as coordenadas do centro de massa são
\bar{x}=\frac1M\int_a^b x(t)\,\delta\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\,\bigl|\mathbf{r}'(t)\bigr|\,dt,\quad \bar{y}=\frac1M\int_a^b y(t)\,\delta\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\,\bigl|\mathbf{r}'(t)\bigr|\,dt,\quad \bar{z}=\frac1M\int_a^b z(t)\,\delta\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\,\bigl|\mathbf{r}'(t)\bigr|\,dt.

Passo 3

No caso \mathbf{r}(t)=(t^2-1)\,\mathbf{j}+2t\,\mathbf{k}, temos
\mathbf{r}'(t)=2t\,\mathbf{j}+2\,\mathbf{k},\quad \bigl|\mathbf{r}'(t)\bigr|=\sqrt{(2t)^2+2^2}=2\sqrt{t^2+1}.
Como y(t)=t^2-1, a densidade é
\delta\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)=15\sqrt{y+2}=15\sqrt{t^2+1}.
Logo
\delta\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\,\bigl|\mathbf{r}'(t)\bigr| =15\sqrt{t^2+1}\;\cdot\;2\sqrt{t^2+1} =30\,(t^2+1).

Passo 4

O total de massa é
M=\int_{-1}^{1}30\,(t^2+1)\,dt =30\biggl[\int_{-1}^{1}t^2\,dt+\int_{-1}^{1}1\,dt\biggr] =30\Bigl(\tfrac{2}{3}+2\Bigr) =30\cdot\tfrac{8}{3} =80.

Passo 5

Calculamos os momentos:
\int_{-1}^{1}x(t)\,\delta\,|r'|\,dt =\int_{-1}^{1}0\cdot30(t^2+1)\,dt=0 \quad\Longrightarrow\quad\bar{x}=0,
\int_{-1}^{1}y(t)\,\delta\,|r'|\,dt =30\int_{-1}^{1}(t^2-1)(t^2+1)\,dt =30\int_{-1}^{1}(t^4-1)\,dt =30\bigl(\tfrac{2}{5}-2\bigr) =-48 \quad\Longrightarrow\quad\bar{y}=\frac{-48}{80}=-\tfrac{3}{5},
\int_{-1}^{1}z(t)\,\delta\,|r'|\,dt =30\int_{-1}^{1}2t\,(t^2+1)\,dt =60\int_{-1}^{1}(t^3+t)\,dt=0 \quad\Longrightarrow\quad\bar{z}=0.

Resposta

O centro de massa do fio é
\bigl(\bar{x},\bar{y},\bar{z}\bigr) =\Bigl(0,\,-\tfrac{3}{5},\,0\Bigr).

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