(Bônus - 1,5 ponto) Obtenha o desenvolvimento da função arctan(
) em série de potências e mostre que
Passo 1
O enunciado pede o desenvolvimento em série de potências (Maclaurin) da função
e, em seguida, que mostremos que, ao avaliar em
, obtemos
O conteúdo envolvido é a expansão em série de Taylor centrada em zero, usando a derivada de
e a série geométrica.
Passo 2
Sabemos que
Para
, escrevemos a função racional como série geométrica com
:
Passo 3
Integramos termo a termo de
até
, lembrando que
:
Como
temos a série de Maclaurin
Passo 4
O raio de convergência dessa série é
. Pelo teste de Leibniz, a série converge também em
de forma condicional. Logo podemos substituir
sem problemas e usar o fato de que
Passo 5
Substituindo
na série de
obtemos