(Bônus - 1,5 ponto) Obtenha o desenvolvimento da função arctan( x ) em série de potências e mostre que
\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede o desenvolvimento em série de potências (Maclaurin) da função \arctan(x) e, em seguida, que mostremos que, ao avaliar em x=1, obtemos
\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots
O conteúdo envolvido é a expansão em série de Taylor centrada em zero, usando a derivada de \arctan(x) e a série geométrica.

Passo 2

Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan(x)\bigr)=\frac{1}{1+x^2}.
Para \lvert x\rvert<1, escrevemos a função racional como série geométrica com u=x^2:
\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,u^n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,x^{2n}.

Passo 3

Integramos termo a termo de 0 até x, lembrando que \arctan(0)=0:
\arctan(x) =\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^2}\,dt =\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,t^{2n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt.
Como
\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt=\frac{x^{2n+1}}{2n+1},
temos a série de Maclaurin
\boxed{\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,\frac{x^{2n+1}}{2n+1}}\quad(\lvert x\rvert<1).

Passo 4

O raio de convergência dessa série é 1. Pelo teste de Leibniz, a série converge também em x=1 de forma condicional. Logo podemos substituir x=1 sem problemas e usar o fato de que
\arctan(1)=\frac{\pi}{4}.

Passo 5

Substituindo x=1 na série de \arctan(x) obtemos
\frac{\pi}{4} =\arctan(1) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,\frac{1^{2n+1}}{2n+1} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,\frac{1}{2n+1} =1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots.

Resposta

\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\qquad \frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,\frac{1}{2n+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots.

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