Responda a questão com verdadeiro ou falso, justificando suas respostas (ou seja, se verdadeiro prove, se falso dê um contraexemplo).
Sejam V e W espaços vetoriais. Se T: V W é uma aplicação tal que T(0)=0 então T é linear.

Passo 1

O enunciado pergunta se basta ter ,T(0)=0 para garantir que T:Vto W seja linear. O conteúdo aqui é transformação linear entre espaços vetoriais, que exige duas propriedades essenciais: aditividade e homogeneidade. Veremos que anular a origem é condição necessária, mas não suficiente.

Passo 2

Lembrando a definição, T é linear se, para todo u,vin V e todo escalar lambda, valem
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(lambda v)=lambda,T(v)
É fácil mostrar que qualquer aplicação linear satisfaz T(0)=0, mas o enunciado quer saber se o recíproco vale: será que apenas T(0)=0 já força essas duas propriedades em geral?

Passo 3

Para refutar, basta um contraexemplo. Considere V=W=R e defina
T(x)=x^2
para todo xinR. Note que
T(0)=0^2=0,
então a condição do enunciado é satisfeita. Porém, ao checarmos aditividade, tomemos por exemplo x=1 e y=1:
T(1+1)=(1+1)^2=4,
enquanto
T(1)+T(1)=1^2+1^2=2
Como 4neq2, a aditividade falha e, portanto, T não é linear mesmo tendo T(0)=0.

Resposta

Falso.

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