Responda a questão com verdadeiro ou falso, justificando suas respostas (ou seja, se verdadeiro prove, se falso dê um contraexemplo).
Sejam
e
espaços vetoriais. Se
é uma aplicação tal que
então
é linear.
Sejam
Passo 1
O enunciado pergunta se basta ter
para garantir que
seja linear. O conteúdo aqui é transformação linear entre espaços vetoriais, que exige duas propriedades essenciais: aditividade e homogeneidade. Veremos que anular a origem é condição necessária, mas não suficiente.
Passo 2
Lembrando a definição,
é linear se, para todo
e todo escalar
, valem
e
É fácil mostrar que qualquer aplicação linear satisfaz
, mas o enunciado quer saber se o recíproco vale: será que apenas
já força essas duas propriedades em geral?
Passo 3
Para refutar, basta um contraexemplo. Considere
e defina
para todo
. Note que
então a condição do enunciado é satisfeita. Porém, ao checarmos aditividade, tomemos por exemplo
e
:
enquanto
Como
, a aditividade falha e, portanto,
não é linear mesmo tendo
.
Resposta
Falso.